05. Формула суммы членов конечной арифметической прогрессии

Вступление

Рассмотрим  задачу: найти сумму натуральных чисел от 1 до 100 включительно.

Дано: 1, 2, 3, …, 98, 99, 100.

Найти: .

Решение:

Ответ: .

Последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, …, 98, 99, 100 является арифметической прогрессией: , .

Мы нашли сумму первых ста натуральных чисел, т.е. сумму первых членов арифметической прогрессии.

Рассмотренное решение предложил великий математик Карл Фридрих Гаусс, живший в 19 веке. Задача была им решена в возрасте 5-ти лет.

Историческая справка: Иога́нн Карл Фри́дрих Га́усс (1777 — 1855) — немецкий математик, механик, физик и астроном. Считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков». Лауреат медали Копли (1838), иностранный член Шведской (1821) и Российской (1824) Академий наук, английского Королевского общества. Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных в одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 101x50=5050.

Вывод формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

Рассмотрим аналогичную задачу для произвольной арифметической прогрессии.

Дано: :

Найти: сумму первых членов арифметической прогрессии.  

Решение:

Покажем, что все выражения в скобках равны между собой, а именно выражению . Пусть  – разность арифметической прогрессии. Тогда: ; ; и т.д. Следовательно, мы можем записать: . Откуда получаем формулу суммы первых членов арифметической прогрессии:

.

Решение задач на применение формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

1. Решим задачу о сумму натуральных чисел от 1 до 100 с помощью формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии:

Решение: , , .

Общая формула:

.

В нашем случае:

.

Ответ: .

2. Дано: ; ; .

Найти: .

Решение.

Общая формула: . Найдем  по формуле –го члена арифметической прогрессии: .

.

В нашем случае: .

Ответ: .

3. Дано: , .

Найти: , .

Решение:

Чтобы найти , сначала надо найти .

Это можно сделать по общей формуле . Сначала применим эту формулу для нахождения разности арифметической прогрессии.

, т.е. . Значит .

Теперь можем найти .

.

Используя формулу суммы первых членов арифметической прогрессии , найдем и .

.

.

Ответ: , .

Вывод второй формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

Получим вторую формулу для суммы первых членов арифметической прогрессии, а именно: докажем, что .

Доказательство:

В формулу суммы первых членов арифметической прогрессии  подставим выражение для , а именно . Получим: , т.е. . Что и требовалось доказать.

Проанализируем полученные формулы. Для вычислений по первой формуле  надо знать первый член, последний член и по второй формуле  – надо знать первый член, разность и .

И в заключение заметим, что в любом случае – это квадратичная функция от n, потому что .

Решение задач на применение второй формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

1. Дано: ; ; .

Найти: .

Решение:

Общая формула:

.

В нашем случае: .

Ответ: .

2. Найти сумму всех двузначных чисел, кратных 4.

Решение:

– множество чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Значит, имеем арифметическую прогрессию ; ; .

найдем из формулы для : .

, т.е. . Значит .

Используя вторую формулу суммы первых членов арифметической прогрессии , найдем .

.

Ответ: .

3. Дано: ; .

Найти: .

Требуется найти сумму всех членов с 10 по 25-й включительно.

Один из способов решения заключается в следующем:

.

Следовательно, .

.

.

.

Ответ: .

Итог урока

Итак, мы вывели формулы для суммы членов конечной арифметической прогрессии. Использовали эти формулы при решении некоторых задач.

На следующем уроке мы познакомимся с характеристическим свойством арифметической прогрессии.

Список рекомендованной литературы

1. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.

2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков, К.И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.

4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.

5. Мордкович А.Г.  Алгебра 9  класс, учебник  для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

6. Мордкович А.Г. , Мишутина  Т.Н.,  Тульчинская Е.Е. Алгебра 9  класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

7. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.  

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. № 362, 371, 377, 382 (Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс).

2. № 12.96 (Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).