Тема: Геометрическая прогрессия
Урок: Характеристическое свойство геометрической прогрессии
1.Тема урока, повторение
На уроке рассматривается характеристическое свойство геометрической прогрессии, решаются типовые задачи с использованием свойства.
Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией. При этом число q называют знаменателем прогрессии.
Математическая запись.
геометрическая прогрессия, ее члены 
, при этом:
Иная запись:
, т.е. 
. 
формулаn–го члена геометрической прогрессии, n=1,2,3,…
т.е. геометрическую прогрессию можно рассматривать как показательную функцию натурального аргумента.
Сумма n первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
.
2. Характеристическое свойство
Рассмотрим характеристическое свойство геометрической прогрессии.
Дано:
геометрическая прогрессия, 
Доказать:
Доказательство: По определению геометрической прогрессии
;
Верно и обратное утверждение.
Дано:числовая последовательность 
такая, что
Доказать: геометрическая прогрессия.
Доказательство:
Поделим обе части равенства на 
.
Т.е. геометрическая прогрессия.
Таким образом, доказано характеристическое свойство геометрической прогрессии:
геометрическая прогрессия.
Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого члена, кроме первого (и последнего, в случае конечной последовательности), равен произведению предыдущего и последующего членов.
Обе части равенства положительны, значит из обеих частей можно извлечь квадратный корень:
среднее геометрическое чисел 
и 
.
Рассмотрим пример геометрической прогрессии с отрицательными членами:
.
А теперь рассмотрим знакопеременную прогрессию:
.
Доказанное характеристическое свойство выполняется и для первой прогрессии, и для второй.
3. Решение задач
Далее рассмотрим решение задач с использованием характеристического свойства.
геометрическая прогрессия.
1. Найдите те значения переменной t, при которых числа 
являются последовательными членами геометрической прогрессии. Дано:{} Найти: 
такое, что {
} -геометрическая прогрессия. Решение:
достаточное условие, 
Ответ:
.
2. Дано: 
геометрическая прогрессия, 
Найти: x. Решение:
. Проверим найденные значения: 
не подходит, т.к. 
а если 
, то 
, поэтому Ответ: 2,5.
3. Дано: 
возрастающая геометрическая прогрессия. Найти:
Решение:
Ответ:
4. Дано: геометрическая прогрессия; 
Доказать:
Доказательство: 1-ый способ:
равенство верно. 2-ой способ:
равенство верно.
5. Дано:геометрическая прогрессия. Доказать:
Доказательство: 
т.е.утверждение верно.
6. Дано: геометрическая прогрессия. Доказать: 
если
Доказательство: 
т.е. утверждение верно.
7. Дано: геометрическая прогрессия, .
. Найти:
Решение:
Ответ:
.
Итак, мы рассмотрели характеристическое свойство геометрической прогрессии.
Следующий урок будет посвящен решению типовых задач на геометрическую прогрессию.
Методические замечания:
1. Если для некоторого утверждения справедливы прямая и обратная теоремы, то условие называется необходимым и достаточным, поэтому условие 
является необходимым и достаточным условием геометрической прогрессии и должно называться именно так.
2. Для решения задач 5 – 7 не используется характеристическое свойство геометрической прогрессии, а только формула общего члена, поэтому эти задачи целесообразно было бы рассматривать в уроке, посвященном формуле общего члена геометрической прогрессии или при решении типовых задач, при этом утверждение задачи 6) можно было бы рассмотреть как свойство геометрической прогрессии.
Список рекомендованной литературы
1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.
2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.
4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.
6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.
Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет
1. РЕШУ ЕГЭ (Источник).
Рекомендованное домашнее задание
Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений /А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
№№ 509, 513.
