Классы
Предметы

Метод математической индукции

На этом уроке мы познакомимся с методом математической индукции, который является важным способом доказательства утверждений, зависящих от натурального числа, узнаем, в чем состоит суть этого метода и в чем его схожесть с принципом домино. Также решим две задачи, применяя метод математической индукции.

Принцип домино

Существует такое понятие, как принцип домино. Представьте, что рядом стоят несколько косточек, мы толкаем одну из них, она, падая, толкает вторую, та – третью и т. д. (см. рис. 1). Существуют даже специальные турниры по падающему домино – команды часами собирают конструкции из домино с тем, чтобы насладиться их красивым падением.

Рис. 1. Принцип домино

Для того чтобы сработала такая цепная реакция, необходимо:

1. уронить первую косточку домино;

2. расставить косточки так, чтобы падение предыдущей косточки влекло за собой падение следующей.

Похожий принцип лежит в основе важного метода, который используют в математике. Этот метод называется математической индукцией. Метод математической индукции является важным способом доказательства утверждений при любом натуральном значении переменной.

Рассмотрим, в чем состоит данный метод, разобрав конкретный пример.

Задача 1

Докажите, что сумма натуральных чисел от 1 до  равна .

Доказать: .

Доказательство

Согласно методу индукции, во-первых, необходимо доказать базу индукции, то есть проверить выполнение данного в условии утверждения для первого значения .

База:

Так как в левой части утверждения записана сумма всех натуральных чисел от 1 до , то число  отражает число слагаемых в левой части. Следовательно, докажем:

 

Таким образом, база доказана.

Далее необходимо доказать индукционный переход. Предположим, что данное в условии утверждение уже доказано для , то есть нам известно, что:

Требуется доказать, что данное в условии утверждение верно для , то есть доказать:

Сумму чисел  можно представить как . По нашему предположению сумма чисел от одного до  равна , следовательно:

Получаем:


 

 - истинное утверждение

Мы доказали, что если утверждение  верно для , то оно верно и для . При этом  может быть любым числом.

Таким образом, согласно методу математической индукции исходное равенство справедливо для любого натурального .

Суть метода математической индукции на примере задачи 1

Согласно базе утверждение  верно при . Доказано, что утверждение верно также и для , если оно верно для .

Таким образом: если утверждение верно при  (), то оно верно и при  (); если утверждение верно при , то оно верно и при  (, а в этом случае ); если утверждение верно при , то оно верно и при  (, а в этом случае ) и т. д. В итоге мы доказали, что утверждение  верно для любого натурального n.

Метод математической индукции состоит в следующем

Какое-либо утверждение, зависящее от натурального числа , справедливо для любого натурального  если:

1. утверждение является истинным при ;

2. утверждение остается истинным, если  увеличить на единицу.

Задача 2

Докажите, что выражение  делится на 5 для любого натурального .

Доказать:

Доказательство

1. База индукции:

Проверяем данное утверждение для :

 

– верно, следовательно, база доказана.

2. Индукционный переход:

Предположим, что для  выражение  делится на 5:

Необходимо доказать, что при  выражение  делится на 5, то есть докажем, что:

 

 можно представить в виде:

 

Рассмотрим выражение . Согласно предположению () делится на 5, следовательно:

 

Так как разница в 5 не влияет на делимость на 5, то к выражению () можно прибавить 5 и новое выражение также будет делиться на 5:

 – индукционный переход доказан.

3. Мы доказали, что если утверждение  верно для , то оно верно и для . Следовательно: если при  утверждение верно, то оно верно и для ; если при  утверждение верно, то оно верно и для ; если при  утверждение верно, то оно верно и для  и т. д. Поэтому утверждение  верно для любого натурального . Что и требовалось доказать.


Принцип математической индукции

Представьте себе робота, который умеет делать две вещи: подходить к лестнице и забираться на одну ступеньку вверх (причем неважно, на какой ступеньке он до этого находился). Может ли этот робот забраться с первого этажа на второй? Конечно. Для этого ему надо подойти к лестнице, а затем применить вторую операцию – забраться на ступеньку. Потом снова применить вторую операцию – подъем на ступеньку. И так применять второе действие столько раз, сколько есть ступенек. При этом если роботу дать команду: поднимись на второй этаж, он не поймет, так как умеет выполнять только две операции – подходить к лестнице и забираться на одну ступеньку.

Так же работает метод математической индукции. База индукции – это подход к лестнице (утверждение для ). Переход индукции – это подъем на одну ступеньку вверх (робот не уточняет, каким образом он оказался на очередной ступеньке, а просто делает действие, переходя с предыдущей ступеньки на следующую). То есть, если мы доказали утверждение для , то оно верно для  и т. д.


 

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Сурвило Г.С. Алгебра 9 кл. С углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 2006.

2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков, К.И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики. – М.: Мнемозина, 2003.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса. – М.: Просвещение, 2002.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт studyport.ru (Источник)

2. Интернет-сайт «Математика для школы» (Источник)

3. Интернет-сайт «Вся элементарная математика» (Источник)

4. Интернет-сайт YouTube (Источник)

 

Домашнее задание

1. Упражнения 13, 16, 18 (§2 стр. 244–245) Виленкин Н. Я., Сурвило Г. С. Алгебра 9 кл. (Источник)

2. Доказать, что для всех натуральных  справедливо равенство 

3. Доказать, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9.