А как можно задать числовую последовательность? Если последовательность конечная, то можно просто перечислить все ее члены. Можно описать свойства элементов последовательности. Например, «простые числа в порядке возрастания» или «последовательность домов нечетной стороны проспекта Гагарина». Есть ли еще какие-то способы задания последовательности?

Мы сказали, что члены последовательности можно нумеровать натуральными числами. Посмотрим на это с другой стороны: мы ставим в соответствие натуральному числу некоторое число:

Знакомо? Да это же определение функции! Только аргументом ее могут быть не любые действительные числа, а только натуральные. Т. е. последовательность можно задать как функцию натурального аргумента. Сравните записи:

1. – значение функции при аргументе :

2. – член последовательности с номером :

На самом деле, мы можем записать даже так:

Тогда мы увидим полное сходство с обозначением функции. Но принято номер записывать не в скобках, а нижним индексом. Поэтому дальше будем придерживаться общепринятого обозначения:

Рассмотрим последовательность, которая задана следующим образом:

Такой способ задания последовательности, с помощью формулы, называют аналитическим. Подставляя вместо натуральные числа, мы получим члены этой последовательности:

Получим последовательность четных чисел. Обратите внимание: последовательность натуральных чисел содержит последовательность четных чисел:

Т. е. кажется, что натуральных чисел больше. Но мы же только что показали, что каждому натуральному числу мы можем поставить в соответствие четное число . Значит, их должно быть одинаковое количество! В чем же подвох?

Дело в том, что привычный нам инструмент «количество» имеет свои ограничения. Он помогает сравнивать множества с конечным набором элементов. А для бесконечных множеств уже не подходит.

Что же делать с бесконечными множествами? Вспомним, что количество мы использовали для сравнения, сопоставления элементов конечных множеств. Во множестве больше элементов, чем во множестве , если мы не можем найти пару для элемента из (см. рис. 3).

Рис. 3. Во множестве больше элементов, чем во множестве

Этот инструмент можно расширить и на бесконечные множества – если между элементами множеств можно установить взаимно однозначное соответствие, то они в каком-то смысле эквивалентны по количеству элементов. Но, т. к. термин «количество» мы оставили для конечных множеств, то для бесконечных множеств этот инструмент расширили и назвали мощность. Подробнее об этом ниже.

Мощность множества

Итак, у двух конечных множеств одинаковое количество элементов, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие. Например, пальцев и машин (см. рис. 4) (в детстве мы именно так и учились считать – загибали палец для каждого следующего элемента множества).

Рис. 4. У двух конечных множеств одинаковое количество элементов, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие: пальцев – машин

А как сравнить количество капель в озере и количество деревьев в лесу? Понятно, что в нашем понимании оба множества можно считать бесконечными. Интуитивно мы понимаем, что количество капель в озере больше (потому что само понятие капли, в отличие от дерева, гораздо более «размытое»). Но когда мы говорим о математическом инструменте, необходимо дать строгое определение.

Обобщим идею сопоставления элементов для бесконечных множеств. Говорят, что если между элементами двух множеств можно установить взаимно однозначное соответствие, то их мощности равны (см. рис. 5).

Рис. 5. Множества с равной мощностью

Для конечных множеств мощность – это просто количество элементов ( – мощность множества):

Для бесконечных множеств за эталон берется натуральный числовой ряд:

Все множества, элементы которых можно занумеровать натуральными числами, называются счетными. Если же между элементами бесконечного множества и натуральными числами нельзя установить взаимно однозначное соответствие, то такие множества называются несчетными (см. рис. 6).

Рис. 6. Множество действительных чисел – пример несчетного множества

Мы показали, что между всеми натуральными и всеми четными числами можно установить такое соответствие, значит, мощности этих множеств равны. Даже несмотря на то, что натуральных чисел «кажется, больше». Т. е. множество четных чисел тоже счетное.

Интересно, что можно установить взаимно однозначное соответствие между натуральными числами и целыми, т. е. можно пронумеровать все целые числа! Опять же, может показаться, что целых должно быть почти в раза больше, ведь это все натуральные, столько же обратных, да еще и ноль. Но так сравнивать бесконечные множества не получится. Можно сравнивать их «мощности», и они будут равны.

Покажем это: числу поставим в соответствие . Далее нумеруем поочередно: положительное, отрицательное, положительное, отрицательное.

Таким образом, мы установим взаимооднозначное соответствие между целыми и натуральными числами, значит, мощности этих множеств равны. И множество целых чисел тоже счетное.

Еще более интересно то, что все рациональные числа также можно пронумеровать! Можете самостоятельно попробовать придумать, как это сделать. Т. е. множества натуральных , целых , рациональных чисел – счетные. А вот множество действительных чисел – несчетное. Можно сказать, что действительных чисел в каком-то смысле больше, чем рациональных. Для мощности множества действительных чисел даже ввели специальное название – континуум (от лат. continuum – непрерывное, сплошное).