Задача 1.

Дано: n-й член последовательности задан формулой

а. , б. .

Доказать: , .

Доказательство.

1-й способ. Поскольку и являются линейными функциями натурального аргумента, то .

2-й способ. Докажем, по определению, что , т.е. покажем, что разность двумя соседними членами последовательности есть величина постоянная.

, а это означает, что .

- члены этой .

, а это означает, что

.

.

- члены этой .

Задача 2. Докажите, что данные последовательности , являются арифметическими прогрессиями с помощью характеристического свойства арифметической прогрессии.

3-й способ. Проверим истинность равенства .

Для первой последовательности:

. Следовательно, .

Для второй последовательности:

. Следовательно, .

Задача 3.

Дано: .

Найти: 1. Формулу n-го члена заданной арифметической прогрессии;

2. d – разность арифметической прогрессии;

3. ; 4) .

Решение. .

– формула n-го члена арифметической прогрессии. Тогда

.

– формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

.

Ответ: , d=3, , .

Задача 4.

Дано: .

Найти: 1. d – разность арифметической прогрессии;

2. Формулу n-го члена заданной арифметической прогрессии;

3. Номер наибольшего двузначного числа.

Решение.

1. – формула n-го члена арифметической прогрессии.

;

2. .

3.

Номер наибольшего двузначного числа Проверка: .

Ответ: d=7, , n=13.

Задача 5.

Дано: , , .

Найти: .

Решение.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии

для выражения членов данной прогрессии:

, Составим и решим систему:

Т.к. по условию арифметическая прогрессия возрастающая, то .Поэтому

Теперь можем найти : .

Ответ: .

Задача 6.

Дано: .

Найти: является ли число 41 членом данной арифметической прогрессии.

Решение.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии

:

; 41=4n-11; n=13.

Ответ: да,

Задача 7.

Дано: .

Найти: с какого номера все члены данной арифметической прогрессии больше 141.

Решение.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии

:

Проверка: .

Ответ: с номера .

Задача 8.

Дано: .

Найти: .

Решение.

1-й способ.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии

для выражения членов данной прогрессии:

Составим и решим систему:

.

Ответ: .

2-й способ.

Воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии: .

Ответ: .

3-й способ.

По определению арифметической прогрессии:

Ответ: .