Тема: Прогрессии
Урок: Решение типовых задач по теме “Арифметическая прогрессия”
1. Повторение
1. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называется арифметической прогрессией, число d называется ее разностью.
.
2. 
– формула n-го члена арифметической прогрессии.
, т.е. n-й член арифметической прогрессии зависит от n, значит, является функцией натурального аргумента.
3. 
– первая формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.
– вторая формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.
4. Характеристическое свойство арифметической прогрессии:
исловая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.
5. Обобщение характеристического свойства арифметической прогрессии:
n-й член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому равноотстоящих членов, т.е. 
при допустимых значениях p (
).
6. Свойство членов арифметической прогрессии: 
, если 
. Например, 
.
2. Решение задач
Задача 1.
Дано: n-й член последовательности задан формулой
а. 
, б. 
.
Доказать: 
, 
.
Доказательство.
1-й способ. Поскольку и являются линейными функциями натурального аргумента, то 
.
2-й способ. Докажем, по определению, что , т.е. покажем, что разность двумя соседними членами последовательности есть величина постоянная.
, а это означает, что 
.
- члены этой 
.
, а это означает, что
.
.
- члены этой .
Задача 2. Докажите, что данные последовательности , являются арифметическими прогрессиями с помощью характеристического свойства арифметической прогрессии.
3-й способ. Проверим истинность равенства 
.
Для первой последовательности:
. Следовательно, .
Для второй последовательности:
. Следовательно, .
Задача 3.
Дано: 
.
Найти: 1. Формулу n-го члена заданной арифметической прогрессии;
2. d – разность арифметической прогрессии;
3. 
; 4) 
.
Решение. 
.
– формула n-го члена арифметической прогрессии. Тогда
.
– формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.
.
Ответ: 
, d=3, 
, 
.
Задача 4.
Дано: 
.
Найти: 1. d – разность арифметической прогрессии;
2. Формулу n-го члена заданной арифметической прогрессии;
3. Номер наибольшего двузначного числа.
Решение.
1. – формула n-го члена арифметической прогрессии.
; 
2. 
.
3. 
Номер наибольшего двузначного числа 
Проверка: 
.
Ответ: d=7, 
, n=13.
Задача 5.
Дано: 
, 
, 
.
Найти: 
.
Решение.
Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии
для выражения членов данной прогрессии:
,
Составим и решим систему:
Т.к. по условию арифметическая прогрессия возрастающая, то 
.Поэтому 
Теперь можем найти 
: 
.
Ответ: 
.
Задача 6.
Дано: 
.
Найти: является ли число 41 членом данной арифметической прогрессии.
Решение.
Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии
:
; 41=4n-11; n=13.
Ответ: да, 
Задача 7.
Дано: 
.
Найти: с какого номера все члены данной арифметической прогрессии больше 141.
Решение.
Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии
:
Проверка: 
.
Ответ: с номера 
.
Задача 8.
Дано: 
.
Найти: 
.
Решение.
1-й способ.
Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии
для выражения членов данной прогрессии:
Составим и решим систему:
.
Ответ: 
.
2-й способ.
Воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии: 
.
Ответ: .
3-й способ.
По определению арифметической прогрессии:
Ответ: .
3. Итог урока
Мы повторили свойства арифметической прогрессии и решили типовые задачи. На следующем уроке продолжим решение задач на арифметическую прогрессию.
Список рекомендованной литературы
1. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.
2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков, К.И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.
4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.
5. Мордкович А.Г. Алгебра 9 класс, учебник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.
6. Мордкович А.Г. , Мишутина Т.Н., Тульчинская Е.Е. Алгебра 9 класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.
7. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.
Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы
1. Раздел College.ru по математике (Источник).
2. Портал Естественных Наук (Источник).
3. Exponenta.ru Образовательный математический сайт (Источник).
Рекомендованное домашнее задание
1. № 448, 457 (Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс).
2. № 12.104 (Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).
