Сравнение чисел
Мы часто сравниваем те или иные объекты по их числовым характеристикам: товары по их ценам, людей по их росту или возрасту, смартфоны по их диагонали или результаты команд по количеству забитых мячей в матче.
Соотношения вида 
или 
называют неравенствами. Ведь в них записано, что числа не равны, а больше или меньше друг друга.
Чтобы сравнивать натуральные числа в десятичной записи, мы упорядочили цифры: 
, а дальше чаще всего использовали преимущества десятичной записи: начинали сравнивать цифры чисел с крайних левых разрядов до первого несоответствия.
Но этот способ не всегда удобен.
Проще всего сравнивать положительные числа, т.к. они обозначают количества. Действительно, если число 
можно эквивалентно представить в виде суммы числа 
с каким-то другим числом 
, то больше : 
.
Эквивалентная запись: 
.
Это определение можно расширить не только на положительные числа, но и на любые два числа: 
.
Число 
больше числа 
(записывается как 
или 
), если число 
является положительным. Соответственно, если число отрицательно, то 
.
Например, сравним две дроби: 
и 
. Сразу так и не скажешь, какая из них больше. Поэтому обратимся к определению и рассмотрим разность 
:
Получили отрицательное число, значит, 
.
На числовой оси большее число всегда будет располагаться правее, меньшее – левее (Рис. 1).
Рис. 1. На числовой оси большее число располагается правее, меньшее – левее
Свойства неравенств
Зачем нужны такие формальные определения? Одно дело – наше понимание, а другое – техника. Если сформулировать строгий алгоритм сравнения чисел, то его можно поручить компьютеру. В этом есть плюс – такой подход избавляет нас от выполнения рутинных операций. Но есть и минус – компьютер точно следует заданному алгоритму. Если компьютеру поставлена задача: поезд должен отправиться со станции в 
, то, даже если вы окажетесь на платформе в 
, на этот поезд вы уже не успеете. Поэтому алгоритмы, которые мы задаём компьютеру для выполнения различных вычислений или решения задач, должны быть очень точными и максимально формализованными.
Как и в случае равенств, с неравенствами можно совершать некоторые действия и получать эквивалентные неравенства.
Рассмотрим некоторые из них.
1. Если 
, то 
для любого числа 
. Т.е. можно прибавлять или вычитать одно и то же число к обеим частям неравенства.
У нас уже есть хороший образ – весы. Если одна из чашек весов перевешивала, то, сколько бы мы ни добавляли (или не забирали) к обеим чашам, эта ситуация не изменится (Рис. 2).
Рис. 2. Если чаши весов не уравновешены, то после добавления (убавления) к ним одинакового количества гирь они останутся в таком же неуравновешенном положении
Это действие можно сформулировать по-другому: можно переносить слагаемые из одной части неравенства в другую, изменяя их знак на противоположный: 
.
2.Если , то 
и 
для любого положительного . Т.е. обе части неравенства можно умножать или делить на положительное число и его знак не изменится.
Для понимания этого свойства можно опять воспользоваться аналогией с весами: если, к примеру, левая чаша перевешивала, то, если возьмём две левые чаши и две правые, перевес точно сохранится. Та же ситуация для 
, 
чаш и т.д. Даже если возьмём половины каждой из чаш, ситуация тоже не изменится (Рис. 3).
Рис. 3. Если чаши весов не уравновешены, то, после того как забрать половину каждой из них, они останутся в таком же неуравновешенном положении
Если же умножить или разделить обе части неравенства на отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный. С аналогией для этой операции чуть сложнее – отрицательных количеств нет. Здесь поможет тот факт, что у отрицательных чисел всё наоборот (чем больше модуль числа, тем меньше само число): 
.
Для чисел разных знаков ещё легче: 
. Т.е., умножая на 
, мы должны изменить знак неравенства на противоположный.
Что касается умножения на отрицательное число 
, то можно выполнить эквивалентную операцию из двух частей: сначала умножить на противоположное положительное число – как мы уже знаем, знак неравенства не изменится: 
.
А дальше умножить полученное неравенство на : 
.
Подробнее о сложении и умножении
В первом свойстве мы записали: 
, но при этом сказали, что можно не только прибавлять, но и вычитать. Почему? Потому что вычитание числа – это то же самое, что и прибавление противоположного числа: 
. Именно поэтому мы говорим не только о сложении, но и о вычитании.
Аналогично и со вторым свойством: деление – это умножение на обратное число: 
. Поэтому во втором свойстве мы говорим не только об умножении на число, но и о делении.
3. Для положительных чисел и , если , то 
.
Это свойство мы хорошо знаем: если мы торт делим на 
человек, то, чем больше , тем меньше достанется каждому. Например: 
, поэтому 
(действительно, четвёртая часть торта явно меньше третьей части того же торта) (Рис. 4).
Рис. 4. Четвёртая часть торта меньше третьей части того же торта
4.Если и 
, то 
.
Продолжая аналогию с весами: если на одних весах левая чаша перевешивает правую и на других – такая же ситуация, то, ссыпав отдельно содержимое левых и отдельно содержимое правых чаш, снова получим, что левая чаша перевешивает (Рис. 5).
Рис. 5. Если левые чаши двух весов перевешивают правые, то, ссыпав отдельно содержимое левых и отдельно содержимое правых чаш, получится, что левая чаша перевешивает
5. Для положительных 
, если и , то 
.
Здесь аналогия чуть более сложная, но тоже ясная: если левая чаша тяжелее правой и мы возьмём больше левых чаш, чем правых, то точно получим более массивную чашу (Рис. 6).
Рис. 6. Если левая чаша тяжелее правой, то если взять больше левых чаш, чем правых, то получится более массивная чаша
Последние два свойства интуитивно понятны: сложив или умножив числа побольше, мы в результате получим большее число.
Большинство из этих свойств можно строго доказать, используя различные алгебраические аксиомы и определения, но мы не будем этого делать. Для нас процесс доказательства представляет не такой интерес, как непосредственно полученный результат, который мы будем использовать на практике.
Правила записи решений строгих и нестрогих неравенств
До сих пор мы говорили о неравенствах как о способе записи результата сравнения двух чисел: 
или 
. Но неравенства можно использовать и для записи различной информации об ограничениях для того или иного объекта. В жизни мы часто используем такие ограничения для описания, например: Россия – это миллионы людей от Калининграда до Владивостока; в лифте можно перевозить не больше 
кг, а в пакет – класть не больше 
кг. Ограничения могут быть использованы и для классификации объектов. Например, в зависимости от возраста выделяют различные категории населения – дети, подростки, молодёжь и т.д.
Во всех рассмотренных примерах можно выделить общую идею: некоторая величина ограничена сверху или снизу (или с обеих сторон сразу). Если 
– грузоподъёмность лифта, а 
– допустимая масса товаров, которые можно класть в пакет, то описанную выше информацию можно записать так: 
, 
и т.д.
В рассмотренных примерах мы были немного неточны. Формулировка «не больше» подразумевает, что в лифте можно перевозить ровно кг, а в пакет можно положить ровно кг. Поэтому правильнее было записать так: 
или . Естественно, так писать неудобно, поэтому придумали специальный знак: 
, который читается как «меньше или равно». Такие неравенства называются нестрогими (соответственно, неравенства со знаками 
– строгими). Их используют тогда, когда переменная может быть не только строго больше или меньше, но может и равняться граничному значению.
Решением неравенства называются все такие значения переменной, при подстановке которых полученное числовое неравенство будет верным. Рассмотрим, например, неравенство: 
. Числа 
– решения этого неравенства, т.к. неравенства 
являются верными. А вот числа и 
не являются решениями, поскольку числовые неравенства 
и 
не являются верными. Решить неравенство, значит, найти все значения переменных, при которых неравенство будет верным.
Вернемся к неравенству . Его решения можно эквивалентно описать так: все действительные числа, которые больше . Понятно, что таких чисел бесконечное множество, как же в таком случае записать ответ? Обратимся к числовой оси: все числа, большие , расположены справа от . Заштрихуем эту область, тем самым показывая, что это и будет ответ к нашему неравенству. Чтобы показать, что число не является решением, его заключают в пустой круг, или, по-другому, выкалывают точку (Рис. 7).
Рис. 7. На числовой оси показано, что число не является решением (выколотая точка)
Если же неравенство нестрогое и выбранная точка является решением, то её заключают в закрашенный круг.
Рис. 8. На числовой оси показано, что число является решением (закрашенная точка)
Итоговый ответ удобно записывать с помощью промежутков. Промежуток записывается по следующим правилам:
- Записываются левая и правая границы промежутка.
- Если граница включена в промежуток, т.е. неравенство нестрогое, ставят квадратные скобки
; если неравенство строгое и граница не включена, то скобки круглые 
. - Если у промежутка нет правой границы, то её записывают как
или 
, если нет левой границы, то как 
.
Знак обозначает бесконечность, т.е. показывает, что число может принимать сколь угодно большое () или сколь угодно малое значение ().
Ответ к неравенству мы можем записать так: 
или просто: 
. Это означает, что неизвестная 
принадлежит указанному промежутку, т.е. может принимать любые значения из этого промежутка.
Если обе скобки промежутка круглые, как в нашем примере, то такой промежуток ещё называют интервалом.
Линейные неравенства
Обычно решением неравенства является промежуток, но возможны и другие варианты, например, решением может быть множество, состоящее из одного или несколько чисел. Например, неравенство 
имеет только одно решение 
. Ведь при любых других значениях выражение 
будет положительным, а значит, соответствующее числовое неравенство выполняться не будет.
Неравенство может и не иметь решений. В этом случае ответ записывают как 
(«Переменная принадлежит пустому множеству»). В том, что решением неравенства может быть пустое множество, нет ничего необычного. Ведь в реальной жизни ограничения также могут привести к тому, что не найдется ни одного элемента, удовлетворяющего требованиям. Например, людей с ростом выше 
метров и при этом весом до кг – точно нет. Множество таких людей не содержит ни одного элемента, или, как говорят, это пустое множество.
Неравенства могут использоваться не только для записи известной информации, но и, как математические модели, для решения различных задач. Пусть у вас есть 
рублей. Сколько мороженых по 
рублей вы можете купить на эти деньги?
Другой пример. У нас есть рублей и нам нужно купить мороженое на друзей. По какой цене мы можем выбрать мороженое для покупки?
В жизни каждый из нас умеет решать такие простые задачи в уме, но задача математики – разработать удобный инструмент, с помощью которого можно решить не одну конкретную задачу, а целый класс разных задач независимо от того, о чём идёт речь – количество порций мороженого, машин для перевозки грузов или рулонов обоев для комнаты.
Перепишем условие первой задачи про мороженое на математическом языке: одна порция стоит рублей, количество порций, которое мы можем купить, нам неизвестно, обозначим как . Тогда общая стоимость нашей покупки: 
рублей. И, по условию, эта сумма не должна превышать рублей. Избавляясь от наименований, получаем математическую модель: 
.
Аналогично для второй задачи (где 
– стоимость порции мороженого): 
. Конструкции , – простейшие примеры неравенств с переменной, или линейных неравенств.
Линейными называются неравенства вида 
, а также те, которые можно привести к такому виду эквивалентными преобразованиями. Например: ; 
; 
.
Ничего нового в таком определении для нас нет: отличие линейных неравенств от линейных уравнений только в замене знака равенства на знак неравенства. Название также связано с линейной функцией 
, которая фигурирует в левой части неравенства (Рис. 9).
Рис. 9. График линейной функции
Соответственно, алгоритм решения линейных неравенств почти такой же, как и алгоритм решения линейных уравнений:
- Перенести все слагаемые с неизвестной в одну сторону, остальные – в другую.
- Привести подобные слагаемые и получить неравенство вида
, где и – некоторые числа. - Разделить обе части неравенства на коэффициент при . При этом учесть, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
- Записать ответ, используя числовую ось и/или с помощью промежутков.
Разберём несколько примеров.
Пример 1. Решить линейное неравенство: 
.
Решение
Перенесём слагаемое с неизвестной из правой части неравенства в левую: 
.
Приведём подобные слагаемые: 
.
Делим обе части на отрицательное число 
, знак неравенства меняется на противоположный: 
. Сделаем рисунок на оси (Рис. 10).
Рис. 10. Иллюстрация к примеру 1
Левого края у промежутка нет, поэтому пишем . Левый край промежутка 
, неравенство строгое, поэтому запишем с круглой скобкой. Получаем интервал: 
.
Ответ: .
Пример 2. Решить линейное неравенство: 
Решение
Раскроем скобки в левой и правой частях неравенства: 
.
Перенесём в левую часть все слагаемые с переменной, а в правую – без переменной:
Приведём подобные слагаемые: 
.
Разделим обе части неравенства на положительное число , знак неравенства не меняется: 
. Сделаем рисунок на оси (Рис. 11).
Рис. 11. Иллюстрация к примеру 2
Получаем промежуток: 
.
Ответ:
.
Что делать, если после приведения подобных слагаемых пропала неизвестная
Пример 1. Решить линейное неравенство: 
.
Решение
Раскроем скобки: 
.
Перенесём в левую часть все слагаемые с переменной, а в правую – без переменной:
Приведём подобные слагаемые: 
.
Получаем: 
.
Неизвестной нет, что же делать? На самом деле снова ничего нового. Вспомните, что мы делали в таких случаях для линейных уравнений: если получилось верное равенство, то решение – любое действительное число, если получилось неверное равенство, то решений у уравнения – нет.
Так же поступаем и здесь. Если получившееся числовое неравенство верно, значит, неизвестная может принимать любые значения: 
(
– множество всех действительных чисел). Но числовой оси это можно изобразить следующим образом (Рис. 1):
Рис. 1. Неизвестная может принимать любые значения
А с помощью интервала записать так: 
.
Если же числовое неравенство получилось неверным, то исходное неравенство не имеет решений: .
В нашем случае неравенство неверно, поэтому ответ: .
Ответ: .
Системы и совокупности неравенств
В различных задачах нам может встретиться не одно, а сразу несколько условий или ограничений. Например, чтобы решить транспортную задачу, нужно учесть количество машин, время в пути, грузоподъёмность и прочее. Каждое из условий на математическом языке будет описываться своим неравенством. При этом возможны два варианта:
1. Все условия выполняются одновременно. Такой случай описывается системой неравенств. При записи они объединяются фигурной скобкой (можно прочитать её как союз И): 
.
2. Должно выполняться хотя бы одно из условий. Это описывается совокупностью неравенств (можно прочитать её как союз ИЛИ): 
.
Системы и совокупности неравенств могут содержать несколько переменных, их количество и сложность могут быть любыми. Но мы будем подробно изучать самый простой случай: системы и совокупности неравенств с одной переменной.
Как их решать? Нужно по отдельности решить каждое из неравенств, а дальше всё зависит от того, система перед нами или совокупность. Если это система, должны выполняться все условия. Если Шерлок Холмс определил, что преступник был блондином и имел 
размер ноги, то среди подозреваемых должны остаться только блондины с размером ноги. Т.е. нам подойдут только те значения, которые соответствуют и одному, и второму, и, если есть, третьему, и другим условиям. Они находятся на пересечении всех полученных множеств. Если использовать числовую ось, то – на пересечении всех заштрихованных частей оси (Рис. 12).
Рис. 12. Решение системы – пересечение всех заштрихованных частей оси
Если это совокупность, то нам подойдут все значения, которые являются решениями хотя бы одного неравенства. Если Шерлок Холмс определил, что преступником мог быть или блондин, или человек с размером ноги, то среди подозреваемых должны оказаться как все блондины (независимо от размера обуви), так и все люди с размером ноги (независимо от цвета волос). Т.е. решением совокупности неравенств будет объединение множеств их решений. Если использовать числовую ось, то – объединение всех заштрихованных частей оси (Рис. 13).
Рис. 13. Решение совокупности – объединение всех заштрихованных частей оси
Подробнее о пересечении и объединении вы можете узнать ниже.
Пересечение и объединение множеств
Термины «пересечение» и «объединение» относятся к понятию множества. Множество – набор элементов, отвечающим некоторым критериям. Примеров множеств вы можете придумать сколько угодно: множество одноклассников, множество футболистов сборной России, множество машин в соседнем дворе и т.д.
Вы уже знакомы с числовыми множествами: множеством натуральных чисел 
, целых 
, рациональных 
, действительных чисел 
. Есть и пустые множества 
, они не содержат элементов. Решения неравенств – это тоже множества чисел.
Пересечением двух множеств 
и 
называется такое множество 
, которое содержит все элементы, принадлежащие одновременно и множеству 
, и множеству 
(Рис. 1).
Рис. 1. Пересечение множеств и
Например, пересечение множества всех женщин и множества президентов всех стран будут все женщины-президенты.
Объединением двух множеств и называется такое множество 
, которое содержит все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств или (Рис. 2).
Рис. 2. Объединение множеств и
Например, объединением множества футболистов «Зенита» в сборной России и футболистов «Спартака» в сборной России будут все футболисты «Зенита» и «Спартака», которые играют за сборную. Кстати, пересечение этих множеств будет пустым множеством (игрок не может одновременно играть за два клуба).
С объединением и пересечением числовых множеств вы уже сталкивались, когда искали НОК и НОД двух чисел. Если и – это множества, состоящие из простых множителей, полученных при разложении чисел, то НОД получается из пересечения этих множеств, а НОК – из объединения. Пример: 
Пример 3. Решить систему неравенств: 
.
Решение
Решим по отдельности неравенства. В первом неравенстве перенесём слагаемое без переменной в правую часть с противоположным знаком: 
.
Приведём подобные слагаемые: 
.
Разделим обе части неравенства на положительное число , знак неравенства не меняется:
Во втором неравенстве перенесём в левую часть слагаемое с переменной, а в правую – без переменной: 
. Приведём подобные слагаемые: 
.
Разделим обе части неравенства на положительное число , знак неравенства не меняется:
Изобразим решения отдельных неравенств на числовой оси. По условию, у нас система неравенств, поэтому ищем пересечение решений (Рис. 14).
Рис. 14. Иллюстрация к примеру 3
Ответ: 
.
Пересечение и объединение множеств
По сути первая часть решения систем и совокупностей неравенств с одной переменной сводится к решению отдельных линейных неравенств. В этом вы можете попрактиковаться самостоятельно (например, с помощью наших тестов и тренажёров), а мы подробнее остановимся на нахождении объединений и пересечений множеств решений.
Пример 4. Пусть было получено следующее решение отдельных уравнений системы:
Решение
Заштрихуем на оси область, соответствующую решению первого уравнения (Рис. 15); решение второго уравнения – пустое множество, ему на оси ничего не соответствует.
Рис. 15. Иллюстрация к примеру 4
Это система, поэтому нужно искать пересечение решений. Но их нет. Значит, ответом к системе будем также пустое множество: .
Ответ: .
Пример 5. Еще пример: 
.
Решение
Отличие в том, что это уже совокупность неравенств. Поэтому нужно выбрать область на оси, которая соответствует решению хотя бы одного из уравнений. Получим ответ: 
.
Ответ: .
Пример 6. Рассмотрим еще один пример: 
.
Решение
Для начала нужно верно отметить расположение точек. Для этого сравним числа 
и 
:
Значит, 
.
Заштрихуем на оси соответствующие области (Рис. 16).
Рис. 16. Иллюстрация к примеру 6
Это совокупность, поэтому мы должны искать объединение решений. Видим, что полученный ответ не является одним цельным промежутком, а состоит из двух отдельных промежутков. В таком случае решение записывается как объединение двух промежутков:
Ответ: 
.
Знак 
– обозначает объединение множеств. Перевёрнутый знак 
обозначает пересечение множеств.
Рекомендуем самостоятельно найти решение совокупностей и систем:
С решением можно ознакомиться ниже.
Решение примеров
Пример 1. Решить совокупность: .
Решение
Заштрихуем на оси соответствующие области (Рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к примеру 1
Области слева и справа от 
являются решениями совокупности. Нужно только определиться с точкой . Обратим внимание, что второе неравенство нестрогое, т.е. 
является его решением. Если оно является решением одного из неравенств, значит, оно входит и в решение совокупности. Так образом, вся числовая ось будет решением совокупности, т.е. .
Ответ: .
Пример 2. Решить совокупность: .
Решение
Условие похожее, но есть одно отличие: оба неравенства строгие, значит, не является решением ни одного из них (Рис. 2).
Рис. 2. Иллюстрация к примеру 2
Соответственно, решением совокупности эта точка тоже не будет. Таким образом, решение будет состоять из двух интервалов: 
. Или, поскольку из целого интервала исключена всего одна точка, это можно записать еще так:
Знак 
показывает, что из множества 
исключается множество, состоящее из одной точки .
Ответ: .
Пример 3. Решить систему: .
Решение
Рисунок похожий (Рис. 3), но в условии уже система. Поэтому нужно искать пересечение решений.
Рис. 3. Иллюстрация к примеру 3
Можно увидеть, что решения пересекаются лишь в одной точке , поэтому решением данной системы будет 
Ответ: 
.
Пример 4. Решить систему: .
Решение
В отличие от предыдущего случая, эти решения не пересекаются (Рис. 4).
Рис. 4. Иллюстрация к примеру 4
Единственная возможность пересечения была в точке , но она не является решением первого неравенства. Поэтому данная система не имеет решений.
Ответ:
.
Двойные неравенства
Частным случаем систем неравенств являются двойные неравенства. Например, двойное неравенство 
эквивалентно следующей системе неравенств:
Поэтому, если вы встретили двойное неравенство, можно смело записывать вместо него систему и решать её. Но в случае когда слева и справа в двойном неравенстве стоят числа, его можно решить более простым методом. Рассмотрим это на конкретном примере.
Задача 1
Ребенок хочет купить себе мороженое в вафельном стаканчике. Сам стаканчик стоит рублей, а один шарик мороженого – 
рублей. Стаканчик со сколькими шариками мороженого может купить ребенок, если он может потратить от 
до 
рублей?
Решение
Обозначим количество шариков мороженого за . Тогда всего ребенок потратит 
рублей на мороженое и ещё на стаканчик, всего 
. Эта сумма должна быть в пределах от до рублей. Получаем неравенство: 
.
Идея простого решения двойного неравенства: эквивалентными преобразованиями оценить неизвестную величину. Для этого нужно в центральной части получить переменную без добавок и числовых коэффициентов. Сначала избавимся от слагаемого – вычтем из всех частей неравенства :
Приведём подобные слагаемые: 
.
Теперь избавимся от числового коэффициента , разделим на него все части неравенства. Это положительное число, поэтому знаки неравенства не изменятся: 
.
Т.е. ребенок может взять от до 
шариков мороженого.
Ответ: 
.
Обратите внимание, что эквивалентная запись двойного неравенства в виде системы неравенств позволяет свести задачу к той, которую мы уже умеем решать. Такой способ хоть и длиннее, зато точно приведёт к решению. В то время как преобразования двойного неравенства ещё надо «увидеть» (то есть о них надо догадаться).
Список рекомендованной литературы:
- Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 9 класс. Учебник. ФГОС, издательство «Просвещение», 2018.
- Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 9 класс. Учебник, издательство «Просвещение», 2018.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 9 класс. Учебник, издательство «Просвещение», 2018
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет:
- Интернет-портал «math10.com» (Источник)
- Интернет-портал «yaklass.ru» (Источник)
- Интернет-портал «cleverstudents.ru» (Источник)
Домашнее задание:
1. Решить неравенство: 
.
2. Найти объединение и пересечение множеств:
a. 
b. 
3. Решить систему неравенств: 
.
