Эффективным методом решения рациональных неравенств является метод интервалов. Изложим его на примере.

1. Решить неравенство:

До сих пор мы рассматривали линейные и квадратные неравенства, в данном случае имеем произведение трех скобок.

Рассмотрим функцию

Изучим свойства этой функции, из которых вытекает решение неравенства.

1. Область определения: .

2. Корни или нули функции: Эти числа являются корнями каждого множителя.

3. Интервалы знакопостоянства. Нанесем все точки, в которых функция может изменять знак, на ось ox (Рис. 1).

4. Определим знак функции на каждом интервале. Рассмотрим два способа.

I. Метод пробной точки - будем находить значения функции в удобной точке каждого интервала.

Рассмотрим точку из интервала

В точке (5) функция положительна, значит и в остальных точках этого интервала функция положительна. По знаку функции в одной точке мы заключаем, что и в остальных точках этого интервала функция имеет тот же знак.

Рассмотрим точку из интервала

Аналогично действуя, можно найти знак функции на каждом интервале.

Иногда интервалы бывают настолько малы, что найти пробную точку в каждом из них затруднительно. Тогда можно использовать табличный способ

II. Табличный способ.

Выпишем все значения, которые может принимать x.Также выпишем все множители и определим знак каждого множителя. Знак функции y определяем, уже зная знаки всех сомножителей.

x				2	(2;4)	4
	-	-	-	-	-	0	+
	-	-	-	0	+	+	+
	-	0	+	+	+	+	+
	-	0	+	0	-	0	+

Таким образом, мы определили знаки функции на каждом интервале.

5. Проверим граничные точки и выпишем ответ.

Ответ:

Мы изложили метод интервалов для конкретной функции.

Мы рассматриваем функцию и изучаем ее свойства – область определения, интервалы знакопостоянства, знаки функции на каждом интервале.

Аналогично решается неравенство

Запишем ответ в виде неравенства:

Граничные точки включаем, т.к. неравенство нестрогое.