Основные понятия, решение линейных неравенств

Основные понятия, решения

Неравенство с одной переменной имеет вид: f(x) > 0, вместо (> 0) может быть (≥ 0), (< 0), (≤ 0).

Для определенности будем записывать неравенство в виде f(x) > 0.

x – переменная,

f – функция, выражение, зависящее от х.

 

В зависимости от f различают разные типы неравенств. Если f – линейная функция, то это линейное неравенство. Если f – квадратичная функция, то это квадратное неравенство.

Итак, линейное неравенство имеет вид ax + b > 0, предполагается, что a≠0.

Квадратное неравенство имеет вид .

Значение x_o, при котором неравенство обращается в верное числовое неравенство, является частным решением неравенства. Решить неравенство – найти все решения неравенства. Множество всех решений неравенства называется общим решением неравенства, или просто решением неравенства.

 

Рассмотрим пример:

1) Решить неравенство 2x – 5 > 9.

Это линейное неравенство, найдем его решение и обсудим основные понятия.

2x – 5 > 9 <=> 2x > 14 (5 перенесли в левую часть с противоположным знаком), далее разделили все на 2 и получили x > 7. Изобразим множество решений на оси x.

Это положительно направленный луч. Записывается множество решений либо в виде неравенства x > 7, либо в виде интервала  (7; ∞). А что является частным решением этого неравенства? Например, x = 10 – это частное решение этого неравенства, x = 12 – это тоже частное решение этого неравенства.

Частных решений много, но наша цель – найти все решения. А решений, как правило, бесчисленное множество.

 

Рассмотрим пример 2:

2) Решить неравенство 4a – 11 > a + 13.

Решим его: а перенесем в одну сторону, 11 перенесем в другую сторону, получим 3a > 24, и в результате после деления обеих частей на 3 получим a > 8.

4a – 11 > a + 13 <=> 3a > 24 <=> a > 8.

Тоже изобразим множество a > 8, но уже на оси а.

Ответ либо записывается в виде неравенства a > 8, либо а  (8; +∞), 8 не включается.

При решении неравенства есть важное отличие его от уравнений, которое состоит в том, что любое решение уравнения можно проверить просто подстановкой в исходное уравнение. В неравенствах такой возможности нет, здесь бесчисленное множество решений подставить в исходное неравенство не представляется возможным. Поэтому есть важное понятие, вот эти стрелочки <=> - это знак эквивалентных, или равносильных, преобразований. Преобразование называются равносильными, или эквивалентными, если они не искажают множества решений. О важности эквивалентных (равносильных) преобразований можно узнать, рассмотрев следующий пример.

3) Решить неравенство  ≤ 1.

Решение будем искать среди x ≠ 0, потому что x стоит в знаменателе. Если x ≠ 0, то обе части неравенства можно умножить на x: , основное свойство дроби позволяет сократить в левой части , и в результате получим  ≥ 1.

Однако неравенство решено неверно. Почему? Возьмем  =-1, которое не входит в найденный промежуток, подставив его в исходное неравенство, получим -1 ≤ 1, т.е. это еще одно частное решение исходного неравенства: -1.

Что же мы сделали? Мы обе части неравенства  ≤ 1 умножили на , не зная знака этого выражения, ведь  может принимать как положительные значения, так и отрицательные.

Таким образом, мы подтвердили важность эквивалентных, равносильных преобразований. Вспомним, что это за равносильные, эквивалентные преобразования, и продемонстрируем их на конкретном примере.

Решить неравенство 2 – 2 >4.

1. Любой член неравенства можно перенести в другую сторону с противоположным знаком, равносильность, эквивалентность не нарушится.

2 – 2 > 4 <=> -2 > 4 – 2 <=> -2 > 2

Эквивалентность не нарушилась, о чем мы говорим вот таким знаком <=>.

2. Второе правило нам говорит, что обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, при этом знак неравенства изменится на противоположный.

3. И еще одно правило: обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, и знак неравенства не изменится.

 

Теперь исходное неравенство имеет вид: -2x > 2. Давайте обе части неравенства разделим на (-2):

-2 >2 <=>  <-1. Знак неравенства изменится, т.к. мы делим на (-2) и пользуемся соответствующим правилом.

Мы пользовались равносильными, эквивалентными преобразованиями и получили правильный ответ:  < -1.

 

Еще один пример, решить неравенство a(a – 2) – a² > 5 – 3a. Делаем стандартные преобразования: раскрываем скобки, получаем равносильное неравенство, которое потом упрощаем, т.е. приводим подобные члены – a² уничтожается, -3a переносим, меняя знак.

a(a – 2) – a² > 5 – 3a <=> a² – 2a - a² > 5 – 3a <=> 3a – 2a > 5 <=> a > 5.

Итак, a(a – 2) – a² > 5 – 3a – исходное неравенство, a > 5 – его решение. Мы пользовались только эквивалентными, равносильными преобразованиями и получили ответ, который не надо проверять.

 

Следующий пример, решить неравенство 5y² – 5y(y + 4) ≥ 100.

Любые неравенства, в том числе и простейшие, которые мы сейчас рассматриваем, решаются только эквивалентными преобразованиями. Выполняем их:   скобки, приводим подобные члены:

5y² – 5y(y + 4) ≥ 100 <=> 5y² – 5y² – 20y ≥ 100 <=> -20y ≥ 100 <=> 20y ≤ -100 <=> y ≤-5.

Исходное неравенство 5y² – 5y(y + 4) ≥ 100, его ответ y ≤-5.

Таким образом, мы рассмотрели основные понятия, связные с неравенством, вспомнили, что значит «решить неравенство», что такое «общее решение неравенства», вспомнили, что неравенства можно решать только эквивалентными преобразованиями, и выяснили, что же это за эквивалентные преобразования.

 

Следующий пример. Решить неравенство:

 

Решаем только эквивалентными преобразованиями: перенесем все в одну сторону и приведем все к общему знаменателю, далее обе части можно умножить на знаменатель и получить только числитель. Далее нам приходится разделить на отрицательное число. Это сделать можно, если знак неравенства изменить на противоположный:

 

 

Итак, мы продемонстрировали решение некоторого количества примеров эквивалентными преобразованиями, и только ими можно решать неравенства.

Линейные неравенства – это неравенства вида ax + b > 0. Линейное неравенство тесно связано с линейной функцией. В левой части неравенства стоит линейная функция y = ax + b. Мы знаем график линейной функции, мы знаем, где она положительная, где отрицательная, и поэтому с помощью графика линейной функции мы можем решить неравенство. Например, решить неравенство: 2x + 1 > 0. Рассмотрим линейную функцию y = 2x + 1, составим таблицу:

x	0
y	1	0

Эта функция положительна при всех значениях x больше . Ответ: x > .

Таким образом, выясняется, что линейная функция разбивает всю область определения на два больших луча. В одном луче она отрицательна, в другом луче она положительна, и, следовательно, решение неравенства очень просто.

Приведем еще один пример. Решить неравенство: -3x + 6 > 0. Снова решаем с помощью линейной функции. Рассмотрим функцию y = -3x + 6 и построим ее график с помощью таблицы:

x	0
y	6	0

 

 

Нулем этой функции является 2. Эта функция сохраняет свой знак при (-∞; 2), и она положительна. И она также сохраняет свой знак при  (2; ∞), и при всех этих значениях функция отрицательна. Нам нужны те x, при которых функция положительна. Получим ответ x , запишем его в виде промежутка (-∞; 2).

 

Итак, мы рассмотрели основные положения, которые нужны для решения неравенств, вспомнили, что такое неравенство, что такое частное решение, что такое общее решение, что такое эквивалентные преобразования, и рассмотрели решение линейных неравенств с помощью эквивалентных преобразований или с помощью графика линейной функции.

 

Список литературы

1. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 8 класс: учебник для 8 кл. общеобраз-х учреждений; под ред. С.А. Теляковского, 15-е изд., дораб. — М.: Просвещение, 2007.
2. Макарычев Ю.Н. Алгебра. 8 класс. — 10-е изд., испр. — М.: Мнемозина, 2010.
3. Алимов Ш.А. и др. Алгебра. 8 класс. Учебник. Алимов Ш.А. и др. 17-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

 

Домашнее задание

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 8 класс: учебник для 8 кл. общеобраз-х учреждений; под ред. С.А. Теляковского, 15-е изд., дораб. — М.: Просвещение, 2007.

№№785, 789, 793, 798.