Пересечение и объединение множеств

Повторение знаний о множестве

Пересечение и объединение множеств – операции над множествами.

Пример на применение объединения и пересечения множеств

Пример: В классе 19 учеников: 10 девочек, 9 мальчиков.

10 девочек – это множество .

9 мальчиков – это множество .

Класс из 19 учеников – это множество С, которое объединяет два множества.

Пусть в классе 5 отличников – это множество D.

Из них 2 мальчика – это множество E.

Из какие элементов состоит множество Е?

Мальчики входят в множества В, так как 2 мальчика – отличники, они входят в множество D.

Рис. 1. Пересечение двух множеств

Множество Е есть пересечение двух множеств В и D(рис. 1).

Определение понятия объединение множеств

Определение: объединением множеств А и В называется новое множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые входят хотя бы в одно из множеств А или В (рис. 3).

                                  

Рис. 2. Множества

Рис. 3. Объединение множеств

 – знак объединения.

Множество  состоит из всех элементов , которые входят или в множество , или в множество . Это можно записать следующим образом:

Пример № 1 на применение определения объединение множеств

Дано множество = и .

Найти объединение множеств .

Решение:

Пример № 2 на объединение бесконечных множеств

Дано множество  и .

Найти объединение множеств .

Решение:

 

 

 

Имеем совокупность неравенств:

   

Пример № 3. Решение квадратного неравенства

Решить квадратное неравенство .

Решение:

Рассмотрим функцию .

Найдём корни функции .

По теореме Виета: .

Имеем объединение двух множеств .

Схематически изобразим график функции:

 при  или .

Ответ:.

Определение понятия пересечение множеств

Пересечение множеств

Пересечением множеств Aи B называется новое множество, содержащее те и только те элементы, которые входят одновременно и в множество А, и в множество В.

 – знак пересечения

Рис. 4а. Пересечение множеств

– пересечение множеств на рис. 4а

Рис. 4б. Пересечения множеств нет

На рис. 4б множества не пересекаются, их пересечение – пустое множество 

Пример № 4 на применение определения пересечения множеств

Даны множества  и . Найти пересечение множеств .

Решение

По определению пересечения, решением будут те элементы, которые одновременно входят в оба множества:

 – пересечение множеств.

Сравним с объединением:

C= – объединение множеств.

Пример № 5 на пересечение бесконечных множеств

Найти пересечение бесконечных множеств

Решение

Нужно найти такие х, которые принадлежат пересечению :

 

 

 

Нужно решить систему неравенств. На оси изображаем множества и находим их пересечение

 

Ответ:

.

Сравним с объединением множеств:

Пример № 6. Решение системы неравенств

Решить систему неравенств

 

 

 

Решение:

Рассмотрим ось х:

 

Ответ:

Пересечением множеств будет:

Итог

Мы рассмотрели объединение и пересечение множеств; решили типовые задачи.

 

Список литературы

1. В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Проспект, 2006. – Т. 1. – С. 66. – 672 с. 
2. А.Г. Мордкович, П.В. Семёнов. Алгебра. 9 класс. В 2-х частях. Часть 1. Учебник. (ФГОС) 16-е издание, исправленное. – М.: Мнемозина, 2013.
3. А.Г. Мордкович, П.В. Семёнов. Алгебра. 9 класс. В 2-х частях. Часть 1. Задачник. 16-е издание, исправленное. – М.: Мнемозина, 2013.
4. А.Г. Мордкович, П.В. Семёнов. Алгебра. 9 класс. Методическое пособие для учителя. – М.: Мнемозина, 2013.
5. А.Г. Мордкович, Н.П. Николаев. Алгебра. 9 класс. В 2-х частях. Часть 1 – учебник. (ФГОС) Учебник для классов с углублённым изучением математики. – М.: Мнемозина, 2014.
6. А.Г. Мордкович. Преподавание алгебры. Методическое пособие для учителя. 8–9 класс. – М.: Мнемозина, 2014.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Raal100.narod.ru (Источник). 
2. Men-c.com (Источник).
3. Википедия (Источник). 

 

Домашнее задание

1. Даны множества А = {3,5, 0, 11, 12, 19}, В = {2,4, 8, 12, 18,0}. Найдите множества AU В.
2. Пусть A – это множество натуральных чисел, делящихся на 2, а В – множество натуральных чисел, делящихся на 4. Какой вывод можно сделать относительно данных множеств?
3. Из 29 мальчишек нашего двора только двое не занимаются спортом, а остальные посещают футбольную или теннисную секции, а то и обе. Футболом занимается 17 мальчишек, а теннисом – 19. Сколько футболистов играет в теннис? Сколько тенниси­стов играет в футбол?