Введение
С понятием «множество» вы уже знакомы. Подмножество, как можно догадаться из названия, – это определенная часть множества. Например:
А – это множество всех учеников в классе.
В – это множество девочек указанного выше класса.
С – множество всех мальчиков класса.
D – множество всех отличников данного класса.
Е – множество всех мальчиков-отличников этого класса.
Таким образом, были перечислены множество (А) и его подмножества (В, С, D, Е). Теперь мы можем дать определение, что такое «подмножество».
Определение
Если каждый элемент множества В является элементом множества А, то множество В называют подмножеством множества А.
В ⊂ А
Как пример, девочки класса из примера выше (множество В) являются ученицами класса (множество А). Значит, В входит в А.
Мальчики тоже являются частью класса, значит, С ⊂ А.
Все отличники являются частью класса, D ⊂ A.
Как и мальчики, отличники – это ученики класса, то есть Е ⊂ А.
Разница между значками ∈ и ⊂
Если у нас а ∈ А, то это значит, что а принадлежит А.То есть, это один элемент a принадлежит множеству А.
Если же подмножество В входит в А, то мы пишем В ⊂ А.
То есть между значками есть разница.
Примеры важных числовых множеств и подмножеств
N – множество натуральных чисел (с их помощью мы считаем предметы, природу и так далее.)
N = 
Z – множество целых чисел.
Z = 
Ясно, что натуральные числа – это подмножество целых чисел, то есть N ⊂ Z.
Q – множество рациональных чисел.
Q = 
Если к множеству рациональных чисел добавить множество иррациональных чисел, то мы получим множество всех действительных чисел.
R – множество действительных чисел.
R = 
Запишем правильные включения:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Пример из геометрии
Пусть множество А – это множество всех четырехугольников: A, B, C, D (рис. 1).
Рис. 1. Множество А
Пусть множество В – это множество четырехугольников с парой равных параллельных сторон: A, B, C, D (рис. 2).
BC = AD BC || AD
Рис. 2. Множество В
Множество С – это множество таких четырехугольников, у которых диагонали, пересекаясь, делятся пополам: AB, CD – диагонали, т. О – точка пересечения диагоналей, АО = ОС, BO = OD (рис. 3).
Рис. 3. Множество С
Итак, было рассмотрено 3 множества четырехугольников: множество произвольных четырехугольников; множество четырехугольников, у которых парные стороны равны и параллельны; множество четырехугольников, у которых диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам.
Рассмотрим еще 2 множества.
Множество D – это множество всех параллелограммов, и множество Е – множество параллелограммов с прямым углом (рис. 4).
Рис. 4. Множества D и Е
Таким образом, мы имеем 5 множеств четырехугольников.
Задача
Написать верное включение (то есть, какое множество является подмножеством другого множества) (рис. 5).
Рис. 5. Иллюстрация к задаче
Наиболее богатое – это множество всех четырехугольников. Значит:
B ⊂ A; C ⊂ A; D ⊂ A; E ⊂ A
Множества В, С, D и Е являются подмножествами множества А.
Далее вспомним определение параллелограмма:
Параллелограммом называется такой четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Для того чтобы убедиться, что фигура является параллелограммом, необходимо вспомнить его признаки:
1. Если 2 стороны параллельны и равны, то такой четырехугольник является параллелограммом.
Значит, В – это множество всех параллелограммов.
2. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то эта фигура – параллелограмм.
Значит, С – это множество всех параллелограммов.
Про множество D напрямую было сказано, что это множество всех параллелограммов.
Если будет стоять вопрос, какие множества равны между собой, то можно ответить, что:
В = С = D – это множества всех параллелограммов.
3. Если в параллелограмме хотя бы один угол равен 900, то такой параллелограмм является прямоугольником.
Значит, Е – это множество всех прямоугольников. Множество всех прямоугольников является подмножеством (частным случаем) произвольного четырехугольника и подмножеством параллелограмма. Отсюда имеем:
Е ⊂ А; E ⊂ B; E ⊂ C; E ⊂ D
Мы рассмотрели множества четырехугольников, из которых самое богатое множество – это множество всех четырехугольников, далее по-разному заданы множества параллелограммов и, наконец, Е – это множество всех прямоугольников. Были даны ответы на вопросы, где верные включения, какие множества равны между собой.
Вывод
Итак, мы узнали, что такое подмножество, и привели примеры.
Список литературы
- Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра 9 класс. – 12-е изд., стер. – М.: 2010. – 224 с.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Алгебра 9 класс. – 16-е изд., стер. – М.: 2009. – 271 с.
Домашнее задание
- № 3.8, 3.9, 3.10, 3.11 стр. 22. Мордкович А.Г. Алгебра 9 класс. Задачник для учащихся общеобразовательных школ. – 12-е изд. – М.: Мнемозина, 2010. – 273 стр.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
