Классы
Предметы

Решение квадратных неравенств. Метод интервалов

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Решение квадратных неравенств. Метод интервалов

На этом уроке мы рассмотрим метод решения нелинейных неравенств. Начнем с самых простых – квадратных. А дальше изучим более общий метод, который позволяет решать очень многие нелинейные неравенства – метод интервалов.

Нелинейные неравенства в жизни

В течение какого времени мяч, брошенный вверх с известной начальной скоростью, будет находиться выше стенки заданной высоты (см. рис. 1)?

Рис. 1. Мяч находится выше стенки заданной высоты

Из физики мы знаем, что на мяч будет действовать только сила тяжести, т. е. он будет двигаться с ускорением свободного падения , которое будет замедлять его при движении вверх и разгонять при падении.

Рис. 2. Мяч двигается с ускорением свободного падения

Можем записать формулу для перемещения при равноускоренном движении:

Знак минус появляется из-за того, что скорость и ускорение тела направлены в разные стороны (см. рис. 3).

Рис. 3. Скорость и ускорение тела направлены в разные стороны

Поскольку нас интересует, когда мяч будет находиться выше стенки высоты , то нам нужно решить неравенство:

В этом неравенстве мы знаем величины . Т. е. мы получили квадратное неравенство относительно переменной  (времени).

Мы уже знаем, как решать задачи, математической моделью которых является линейное неравенство. Но большинство зависимостей носят более сложный, нелинейный характер. И наша задача – получить удобный инструмент, который позволит решать нелинейные неравенства.

Квадратные неравенства

Начнем мы именно с квадратных неравенств, т. к. они – самые простые примеры нелинейных неравенств. И вот почему.

Линейное неравенство имеет стандартный вид:

Если мы перемножим два линейных неравенства  и , то получим квадратное неравенство:

Параллельно мы получили идею решения квадратных неравенств – разложить многочлен в левой части на произведение линейных множителей (если это возможно).

Давайте рассмотрим на примерах, как решить квадратное неравенство, используя разложение на множители.

Пример 1. Решить неравенство:

Решение.

Разложим на множители левую часть, используя формулу сокращенного умножения:

Произведение  на  больше нуля, т. е. положительно. Когда произведение двух множителей положительно? Либо когда они оба положительны, либо когда они оба отрицательны. Т. е. и  или же:  и .

Перепишем на математическом языке: союз «и» – это система условий, «или» – это совокупность. Получим:

Итак, мы свели решение квадратного неравенства к решению систем и совокупностей линейных неравенств. А это мы уже умеем делать. Да, выглядит это, может, и сложно, но это лишь форма записи. Ничего сложного в решении нет – нужно просто действовать по известному нам алгоритму.

Решим первую систему:

Отметим решение неравенств на оси. Заштриховав соответствующие области, видим, что решение данной системы (см. рис. 4):

Рис. 4. Иллюстрация к примеру 1

Решим вторую систему:

Заштриховав соответствующие области, получим решение системы (см. рис. 5):  

Рис. 5. Иллюстрация к примеру 1

Осталась совокупность:

Отметив эти области на оси, видим, что они не пересекаются. Т. е. решением исходного квадратного неравенства будет объединение двух интервалов (см. рис. 6):

Рис. 6. Иллюстрация к примеру 1

Ответ: .

Пример 2. Решить неравенство:

Решение.

Для разложения на множители этого квадратного трехчлена найдем его корни, решив соответствующее квадратное уравнение: .

Откуда:

Можем разложить квадратный трехчлен на множители по формуле:

Тогда:

Неравенство примет эквивалентный вид:

Произведение отрицательно, значит, один из множителей должен быть отрицательным, другой – положительным. Как и в предыдущем примере, получаем совокупность систем линейных неравенств, где в первом системе первый множитель – положительный, а второй – отрицательный, а во второй системе – наоборот:

Решая системы, видим, что первая система имеет решение  (см. рис. 7):

Рис. 7. Иллюстрация к примеру 2

Вторая система не имеет решений, т. к. заштрихованные области не пересекаются (см. рис. 8).

Рис. 8. Иллюстрация к примеру 2

Таким образом, решением совокупности, а значит, и исходного квадратного неравенства будет интервал (см. рис. 9):

Рис. 9. Иллюстрация к примеру 2

Ответ: .

Конечно, можно решать квадратные неравенства таким способом. Но полная запись решения получается довольно громоздкой. Можно ли как-то ускорить процесс решения? Да. И сейчас мы разберем, как именно.

Метод интервалов

Обратим внимание, что решения рассмотренных неравенств – это интервалы, концы которых являются корнями соответствующего квадратного уравнения:

Неравенство , его решение: , где точки  и  являются корнями квадратного уравнения .

Неравенство , его решение: , где точки  и  являются корнями уравнения .

Естественно, это не совпадение. Любая функция меняет свой знак только при переходе через  (или в точках, в которых у нее возникает разрыв из-за ОДЗ, но в квадратных неравенствах мы об этом можем не беспокоиться: ОДЗ – множество всех действительных чисел).

Если представить квадратный трехчлен в виде произведения линейных множителей:
, то его нули – это нули каждой из скобок (произведение равно  тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен ):

Значит, смена знака левой части будет происходить только в нулях линейных множителей. В случае квадратного трехчлена это и будут корни соответствующего квадратного уравнения (см. рис. 10).

Рис. 10. Смена знака квадратного трехчлена происходит только в корнях соответствующего квадратного уравнения

Так вот, чтобы не записывать все эти системы и совокупности неравенств, для решения квадратного неравенства достаточно:

1.                  решить соответствующее квадратное уравнение;

2.                  разбить ось на интервалы, концы которых являются корнями этого уравнения;

3.                  выбрать необходимые интервалы.

Такой метод решения неравенств называется методом интервалов.

Проиллюстрируем этот метод для квадратного неравенства в общем виде:

Рассмотрим график параболы (см. рис. 11):

Рис. 11. График параболы

В точках, где парабола пересекает ось : . Т. е. в этих точках: . Соответственно,  и  – корни данного квадратного уравнения. Эти точки разбивают ось на  интервала. На двух интервалах значения функции  только положительные, т. е. . Объединение этих интервалов и будет решением данного неравенства (см. рис. 12):

Рис. 12. Иллюстрация решения неравенства

На третьем интервале значения функции только отрицательные, т. е. этот интервал является решением неравенства:  (см. рис. 13):

Рис. 13. Иллюстрация решения неравенства

Вы скажете: где же тут упрощение решения, если нужно еще и график рисовать? Нет, не нужно. Первый пункт вы можете выполнить и без графика. Выбрать нужные интервалы также можно без графика. Для этого пользуются тем, что в пределах интервала знак функции не меняется (мы только что обсуждали, что изменение знака может произойти только в нуле квадратичной функции). Поэтому достаточно проверить знак любой одной точки из интервала: какой знак функции в этой точке, такой и на всем интервале. Этот метод еще называют «методом пробной точки».

Попрактикуемся и решим квадратное неравенство методом интервалов.

Пример 3. Решить неравенство:

Решение.

Для начала приведем данное неравенство к стандартному виду:

Для этого перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:

Упростим выражение в левой части:

Получили квадратное неравенство:

Решим его методом интервалов.

1.                  Решим соответствующее квадратное уравнение:

Умножим обе части уравнения на :

Найдем корни:

2.                  Разобьем ось на интервалы, концы которых являются корнями этого уравнения (см. рис. 14):

 

Рис. 14. Иллюстрация к примеру 3

3.                  Выберем необходимые интервалы методом пробной точки.

На первом интервале выберем пробную точку . Подставляем в левую часть неравенства: .

Значение отрицательное, значит, на всем интервале левая часть также отрицательна.

Аналогичным образом:

- на втором интервале при  получим: ;

- на третьем интервале при  получим: .

Рис. 15. Иллюстрация к примеру 3

В неравенстве нас интересуют положительные значения левой части (. Значит, решением будет только второй интервал: .

Ответ: .

Конечно, каждый раз подставлять пробные точки, чтобы определять знаки на интервалах при решении квадратных неравенств, необязательно. Достаточно заметить, что парабола, соответствующая квадратному трехчлену с двумя действительными корнями, может иметь один из двух видов:

1.         если старший коэффициент положительный: , то ветви параболы направлены вверх и мы получаем знаки:  (см. рис. 16);

 

Рис. 16. При  ветви параболы направлены вверх, а знаки функции:  

2.         если старший коэффициент отрицательный: , то ветви параболы направлены вниз и мы получаем знаки:  (см. рис. 17).

Рис. 17. При  ветви параболы направлены вверх, а знаки функции:  

Этим можно пользоваться и сразу выписывать знаки на интервалах в третьем пункте решения, глядя на знак старшего коэффициента квадратного трехчлена.

Другие частные случаи решения квадратных неравенств

Мы рассмотрели только частные случаи, когда неравенство строгое, а соответствующее квадратное уравнение имеет два корня. Посмотрим, чем же будет отличаться решение в других случаях.

Нестрогое неравенство. По сути, решение нестрогого неравенства – это объединение решение строгого неравенства и решения уравнения. Буквально: больше либо равно – это больше или равно. Поэтому, если неравенство нестрогое, то в решении неравенства достаточно включить решение уравнения – т. е. концы интервалов (кроме бесконечностей, естественно). Для удобства обозначений, если неравенство нестрогое, соответствующую точку на оси обозначают закрашенной точкой, а не выколотой.

Пример 4. Решить неравенство:

Решение.

Мы уже решали строгое неравенство  и знаем его решение: . Соответственно, в решение нестрогого неравенства нужно еще включить точки  и  – решения уравнения .

Ответ:.

Квадратное уравнение имеет один корень. Действуем по тому же алгоритму. Только интервалов получится не , а . Далее методом пробной точки выбираем нужные.

Пример 5. Решить неравенство:

Решение.

1. Решаем уравнение: . Получим только один корень:

2. Отмечаем его на оси, получаем два интервала (см. рис. 18).

Рис. 18. Иллюстрация к примеру 5

3. Методом пробной точки получаем:

а. при  получим:  (положительное значение на первом интервале);

б. при  получим:  (положительное значение на втором интервале) (см. рис. 19)

Рис. 19. Иллюстрация к примеру 5

Нас интересуют отрицательные значения, т. е. ни один интервал не подходит. Но неравенство нестрогое, поэтому в решение неравенства следует включить решение уравнения.

Ответ: .

Квадратное уравнение не имеет решений. В этом случае также нет ничего страшного. Если нет решений, то на оси будет только один интервал:

Как и во всех других случаях, методом пробной точки определяем знак на этом интервале и смотрим, удовлетворяет он неравенству или нет.

Пример 6. Решить неравенство:

Решение.

1. Решаем уравнение .

Дискриминант , значит,

уравнение не имеет решений.

2. Получаем лишь один интервал:

Рис. 20. Иллюстрация к примеру 6

 

3. Методом пробной точки определяем знак левой части неравенства на данном интервале. При  получим:  – знак положительный, а в неравенстве нас интересуют отрицательные значения. Значит, данный интервал не подходит.

Хоть и неравенство строгое, но уравнение не имеет решений. Поэтому дополнительно включать в ответ нечего. Неравенство не имеет решений.

Ответ: .

 


Другие методы решения уравнений

Вы могли заметить, что перечисленные неравенства можно решить и другим способом, без метода интервалов. Например, в неравенстве  можно выделить полный квадрат в левой части:

Квадрат любого выражения – всегда неотрицательная величина, т. е. решение может быть только в случае равенства нулю. Сразу получаем:

В неравенстве  также можно было выделить полный квадрат:

Прибавив к неотрицательной величине положительную, получим положительное значение. Значит,  всегда больше нуля и неравенство не имеет решений.

Эти решения выглядят проще. Но в них нужно «догадаться», «увидеть» что-то. Если вы это смогли – хорошо, это также верное решение. А вот в решении методом интервалов есть четкий алгоритм. Выполнив его, вы точно придете к верному ответу.


 

Метод интервалов для произвольных неравенств

На самом деле, для квадратных неравенств можно было обойтись и без метода интервала. Достаточно схематически построить параболу, соответствующую квадратному трехчлену. Действительно, возможны всего шесть вариантов, в зависимости от знака старшего коэффициента и знака дискриминанта (см. рис. 21).

Рис. 21. Вид параболы зависит от знаков старшего коэффициента и дискриминанта

Дальше решение неравенства по графику уже не составит труда:

  1.  – все, что выше оси ;
  2.  – все, что ниже оси ;
  3.  – все, что на оси .

Но метод интервалов – это универсальный метод. Он позволяет решать не только квадратные неравенства, но и многие другие неравенства, в частности дробно-рациональные неравенства, например:

На квадратных неравенствах нам просто было удобно учиться его использовать.

Как же использовать метод интервалов для произвольных неравенств? Алгоритм практически не меняется: сначала нужно перенести все слагаемые в одну сторону, чтобы получить выражение вида: , где  – любое выражение, зависящее от .

Как мы уже говорили, функция может менять свой знак только в двух случаях: если она проходит через ноль и если в какой-то точке она не определена.

В первом случае все понятно: чтобы перейти с  на  или обратно, непрерывная функция обязательно должна пройти через  (см. рис. 22).

Рис. 22. Пример графика функции, меняющей свой знак при переходе через

Конечно, не в любой такой точке будет происходить смена знака – функция может вести себя и так (см. рис. 23), или, например, парабола в точке  (см. рис. 24).

Рис. 23. Пример графика функции, не меняющей свой знак при переходе через

Рис. 24. Парабола в точке

Но наша задача – не пропустить ни одну из точек, в которых функция меняет свой знак, если же попадутся лишние – ничего страшного, на нескольких интервалах зря проверим знаки методом пробной точки.

Во втором случае смена знака тоже не обязательна, но возможна. Грубо говоря, если функция в какой-то точке не определена, то мы не можем гарантировать, что слева и справа от этой точки она ведет себя одинаково. А значит, вполне может поменять свой знак (см. рис. 25, 26).

Рис. 25. Пример графика функции, меняющей свой знак при переходе через точку, в которой она не определена

Рис. 26. Пример графика функции, не меняющей свой знак при переходе через точку, в которой она не определена

Итак, идея метода интервалов: мы знаем, что «подозрительными» являются нули функции и выколотые точки ОДЗ. Конечно, в каких-то из них смена знака функции может и не происходить, но наша цель – точно не пропустить ни одну из таких точек.

Мы точно знаем, что на всех интервалах между этими точками функция не меняет свой знак, а значит, знак функции на этом интервале можно определить методом пробной точки. Запишем алгоритм.

  1. Найти нули функции : решить уравнение . А также найти ОДЗ функции.
  2. Отметить нули функции и ОДЗ на числовой прямой. Стоит отметить: если неравенство строгое, то нули функции сразу можно «выколоть»: нам не подойдут точки, в которых функция равна . Если же неравенство нестрогое, то, наоборот, нули функции надо заштриховать. Точки, которые не войдут в ОДЗ, всегда будут выколоты.
  3. Проставить знаки на получившихся интервалах и выбрать нужные интервалы.

Кроме линейных и квадратных уравнений, вы уже умеете решать простые уравнения высших степеней, дробно-рациональные и иррациональные уравнения. А пользуясь методом интервалов, вы сможете решить и любые неравенства соответствующих типов. Примеры решений мы разберем на практическом уроке, а сейчас решим одно неравенство методом интервалов для закрепления алгоритма.

Пример 7. Решить неравенство:

Решение.

Начальный шаг пропускаем – неравенство уже приведено к необходимому нам виду.

1. Найдем ОДЗ – знаменатель дроби не равен :

Нули функции найти тоже несложно – дробь равна , если ее числитель равен :

Произведение равно , если хотя бы один из множителей равен :

2. Отмечаем точки ,  и  из первого пункта на числовой оси. При этом точка  выколота (она не входит в ОДЗ, и даже то, что неравенство нестрогое, а  также является нулем функции, ее не спасает – если точка не входит в ОДЗ, то она никак не может быть решением). Точки  и  – закрашены, т. к. неравенство нестрогое, они являются нулями функции и точно войдут в ответ (см. рис. 27).

Рис. 27. Иллюстрация к примеру 7

3. Определяем знаки на интервалах (обратите внимание: нам важны только знаки множителей, сами значения непринципиальны) (см. рис. 28):

Рис. 28. Иллюстрация к примеру 7

Знак неравенства: , нас интересуют интервалы со знаками , получаем ответ:

У нас получилось, что в точке  не произошло смены знака, хотя саму точку  пришлось исключить, т. к. она не входит в ОДЗ. Если посмотреть на график функции, то понятно, почему так произошло (см. рис. 29).

Рис. 29. Иллюстрация к примеру 7

Ответ: .

 

Заключение

На этом наш урок подходит к концу. В заключение хотелось бы отметить, что, кроме перечисленных типов уравнений, при моделировании различных ситуаций могут встретиться и другие, более сложные уравнения и неравенства. Но разработаны компьютерные алгоритмы, которые позволяют найти их приближенные решения.

Другое дело, что нам полезно знать, какие именно идеи заложены в эти алгоритмы, чтобы знать, как работают машины, и понимать, что никакого чуда в решении ими сложных уравнений и неравенств нет.

Разбираться в этих методах нужно людям многих профессий: начиная от физиков, химиков и экономистов, заканчивая художниками фильмов и компьютерных игр. Ведь чтобы идеально смоделировать движение и взаимодействие объектов в фильме или игре, нужно очень учесть много параметров.

 

Список литературы

  1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 9 класс. Учебник. – М.: ФГОС, издательство «Просвещение», 2018.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
  3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал «yaklass.ru» (Источник)
  2. Интернет-портал «cleverstudents.ru» (Источник)
  3. Интернет-портал «kontromat.ru» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Решить неравенство:

2. Сколько целочисленных решений имеет неравенство:

3. Решить неравенство: