02. Решение квадратных неравенств. Метод интервалов

Нелинейные неравенства в жизни

В течение какого времени мяч, брошенный вверх с известной начальной скоростью, будет находиться выше стенки заданной высоты (см. рис. 1)?

Из физики мы знаем, что на мяч будет действовать только сила тяжести, т. е. он будет двигаться с ускорением свободного падения , которое будет замедлять его при движении вверх и разгонять при падении.

Можем записать формулу для перемещения при равноускоренном движении:

Знак минус появляется из-за того, что скорость и ускорение тела направлены в разные стороны (см. рис. 3).

Поскольку нас интересует, когда мяч будет находиться выше стенки высоты H, то нам нужно решить неравенство:

В этом неравенстве мы знаем величины . Т. е. мы получили квадратное неравенство относительно переменной t (времени).

Мы уже знаем, как решать задачи, математической моделью которых является линейное неравенство. Но большинство зависимостей носят более сложный, нелинейный характер. И наша задача – получить удобный инструмент, который позволит решать нелинейные неравенства.

Квадратные неравенства

Начнем мы именно с квадратных неравенств, т. к. они – самые простые примеры нелинейных неравенств. И вот почему.

Линейное неравенство имеет стандартный вид:

Если мы перемножим два линейных неравенства и , то получим квадратное неравенство:

Параллельно мы получили идею решения квадратных неравенств – разложить многочлен в левой части на произведение линейных множителей (если это возможно).

Давайте рассмотрим на примерах, как решить квадратное неравенство, используя разложение на множители.

Пример 1. Решить неравенство:

Решение.

Разложим на множители левую часть, используя формулу сокращенного умножения:

Произведение на больше нуля, т. е. положительно. Когда произведение двух множителей положительно? Либо когда они оба положительны, либо когда они оба отрицательны. Т. е. и или же: и .

Перепишем на математическом языке: союз «и» – это система условий, «или» – это совокупность. Получим:

Итак, мы свели решение квадратного неравенства к решению систем и совокупностей линейных неравенств. А это мы уже умеем делать. Да, выглядит это, может, и сложно, но это лишь форма записи. Ничего сложного в решении нет – нужно просто действовать по известному нам алгоритму.

Решим первую систему:

Отметим решение неравенств на оси. Заштриховав соответствующие области, видим, что решение данной системы (см. рис. 4):

Решим вторую систему:

Заштриховав соответствующие области, получим решение системы (см. рис. 5):  

Осталась совокупность:

Отметив эти области на оси, видим, что они не пересекаются. Т. е. решением исходного квадратного неравенства будет объединение двух интервалов (см. рис. 6):

Ответ:

Пример 2. Решить неравенство:

Решение.

Для разложения на множители этого квадратного трехчлена найдем его корни, решив соответствующее квадратное уравнение:

Откуда:

Можем разложить квадратный трехчлен на множители по формуле:

Тогда:

Неравенство примет эквивалентный вид:

Произведение отрицательно, значит, один из множителей должен быть отрицательным, другой – положительным. Как и в предыдущем примере, получаем совокупность систем линейных неравенств, где в первом системе первый множитель – положительный, а второй – отрицательный, а во второй системе – наоборот:

Решая системы, видим, что первая система имеет решение  (см. рис. 7):

Вторая система не имеет решений, т. к. заштрихованные области не пересекаются (см. рис. 8).

Таким образом, решением совокупности, а значит, и исходного квадратного неравенства будет интервал (см. рис. 9):

Ответ:

Конечно, можно решать квадратные неравенства таким способом. Но полная запись решения получается довольно громоздкой. Можно ли как-то ускорить процесс решения? Да. И сейчас мы разберем, как именно.

Метод интервалов

Обратим внимание, что решения рассмотренных неравенств – это интервалы, концы которых являются корнями соответствующего квадратного уравнения:

Неравенство , его решение: , где точки -2 и 2 являются корнями квадратного уравнения

Неравенство , его решение: , где точки 1 и 2 являются корнями уравнения .

Естественно, это не совпадение. Любая функция меняет свой знак только при переходе через 0 (или в точках, в которых у нее возникает разрыв из-за ОДЗ, но в квадратных неравенствах мы об этом можем не беспокоиться: ОДЗ – множество всех действительных чисел).

Если представить квадратный трехчлен в виде произведения линейных множителей: , то его нули – это нули каждой из скобок (произведение равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0):

Значит, смена знака левой части будет происходить только в нулях линейных множителей. В случае квадратного трехчлена это и будут корни соответствующего квадратного уравнения (см. рис. 10).

Так вот, чтобы не записывать все эти системы и совокупности неравенств, для решения квадратного неравенства достаточно:

1. решить соответствующее квадратное уравнение;

2. разбить ось на интервалы, концы которых являются корнями этого уравнения;

3. выбрать необходимые интервалы.

Такой метод решения неравенств называется методом интервалов.

Проиллюстрируем этот метод для квадратного неравенства в общем виде:

Рассмотрим график параболы (см. рис. 11):

В точках, где парабола пересекает ось x: . Т. е. в этих точках: . Соответственно, и – корни данного квадратного уравнения. Эти точки разбивают ось на 3 интервала. На двух интервалах значения функции только положительные, т. е. . Объединение этих интервалов и будет решением данного неравенства (см. рис. 12):

На третьем интервале значения функции только отрицательные, т. е. этот интервал является решением неравенства:  (см. рис. 13):

Вы скажете: где же тут упрощение решения, если нужно еще и график рисовать? Нет, не нужно. Первый пункт вы можете выполнить и без графика. Выбрать нужные интервалы также можно без графика. Для этого пользуются тем, что в пределах интервала знак функции не меняется (мы только что обсуждали, что изменение знака может произойти только в нуле квадратичной функции). Поэтому достаточно проверить знак любой одной точки из интервала: какой знак функции в этой точке, такой и на всем интервале. Этот метод еще называют «методом пробной точки».

Попрактикуемся и решим квадратное неравенство методом интервалов.

Пример 3. Решить неравенство:

Решение.

Для начала приведем данное неравенство к стандартному виду:

Для этого перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:

Упростим выражение в левой части:

Получили квадратное неравенство:

Решим его методом интервалов.

1. Решим соответствующее квадратное уравнение:

Умножим обе части уравнения на :

Найдем корни:

2. Разобьем ось на интервалы, концы которых являются корнями этого уравнения (см. рис. 14):

3. Выберем необходимые интервалы методом пробной точки.

На первом интервале выберем пробную точку . Подставляем в левую часть неравенства:

Значение отрицательное, значит, на всем интервале левая часть также отрицательна.

Аналогичным образом:

- на втором интервале при  получим: ;

- на третьем интервале при получим:

В неравенстве нас интересуют положительные значения левой части . Значит, решением будет только второй интервал: .

Ответ: .

Конечно, каждый раз подставлять пробные точки, чтобы определять знаки на интервалах при решении квадратных неравенств, необязательно. Достаточно заметить, что парабола, соответствующая квадратному трехчлену с двумя действительными корнями, может иметь один из двух видов:

1. если старший коэффициент положительный: , то ветви параболы направлены вверх и мы получаем знаки: (см. рис. 16);

2. если старший коэффициент отрицательный:, то ветви параболы направлены вниз и мы получаем знаки:  (см. рис. 17).

Этим можно пользоваться и сразу выписывать знаки на интервалах в третьем пункте решения, глядя на знак старшего коэффициента квадратного трехчлена.

Другие частные случаи решения квадратных неравенств

Мы рассмотрели только частные случаи, когда неравенство строгое, а соответствующее квадратное уравнение имеет два корня. Посмотрим, чем же будет отличаться решение в других случаях.

Нестрогое неравенство. По сути, решение нестрогого неравенства – это объединение решение строгого неравенства и решения уравнения. Буквально: больше либо равно – это больше или равно. Поэтому, если неравенство нестрогое, то в решении неравенства достаточно включить решение уравнения – т. е. концы интервалов (кроме бесконечностей, естественно). Для удобства обозначений, если неравенство нестрогое, соответствующую точку на оси обозначают закрашенной точкой, а не выколотой.

Пример 4. Решить неравенство:

Решение.

Мы уже решали строгое неравенство и знаем его решение: . Соответственно, в решение нестрогого неравенства нужно еще включить точки -5 и 1 – решения уравнения

Ответ:

Квадратное уравнение имеет один корень. Действуем по тому же алгоритму. Только интервалов получится не 3, а 2. Далее методом пробной точки выбираем нужные.

Пример 5. Решить неравенство:

Решение.

1. Решаем уравнение: . Получим только один корень:

2. Отмечаем его на оси, получаем два интервала (см. рис. 18).

3. Методом пробной точки получаем:

а. при получим:  (положительное значение на первом интервале);

б. при получим: (положительное значение на втором интервале) (см. рис. 19)

Нас интересуют отрицательные значения, т. е. ни один интервал не подходит. Но неравенство нестрогое, поэтому в решение неравенства следует включить решение уравнения

Ответ:

Квадратное уравнение не имеет решений. В этом случае также нет ничего страшного. Если нет решений, то на оси будет только один интервал:

Как и во всех других случаях, методом пробной точки определяем знак на этом интервале и смотрим, удовлетворяет он неравенству или нет.

Пример 6. Решить неравенство:

Решение.

1. Решаем уравнение

Дискриминант , значит, уравнение не имеет решений.

2. Получаем лишь один интервал:

3. Методом пробной точки определяем знак левой части неравенства на данном интервале. При получим:  – знак положительный, а в неравенстве нас интересуют отрицательные значения. Значит, данный интервал не подходит.

Хоть и неравенство строгое, но уравнение не имеет решений. Поэтому дополнительно включать в ответ нечего. Неравенство не имеет решений.

Ответ:

 Другие методы решения уравнений

Вы могли заметить, что перечисленные неравенства можно решить и другим способом, без метода интервалов. Например, в неравенстве можно выделить полный квадрат в левой части:

Квадрат любого выражения – всегда неотрицательная величина, т. е. решение может быть только в случае равенства нулю. Сразу получаем: ,

В неравенстве также можно было выделить полный квадрат:

Прибавив к неотрицательной величине положительную, получим положительное значение. Значит, всегда больше нуля и неравенство не имеет решений.

Эти решения выглядят проще. Но в них нужно «догадаться», «увидеть» что-то. Если вы это смогли – хорошо, это также верное решение. А вот в решении методом интервалов есть четкий алгоритм. Выполнив его, вы точно придете к верному ответу.

 Метод интервалов для произвольных неравенств

На самом деле, для квадратных неравенств можно было обойтись и без метода интервала. Достаточно схематически построить параболу, соответствующую квадратному трехчлену. Действительно, возможны всего шесть вариантов, в зависимости от знака старшего коэффициента и знака дискриминанта (см. рис. 21).

Дальше решение неравенства по графику уже не составит труда:

1.  – все, что выше оси ;

2.  – все, что ниже оси ;

3.  – все, что на оси .

Но метод интервалов – это универсальный метод. Он позволяет решать не только квадратные неравенства, но и многие другие неравенства, в частности дробно-рациональные неравенства, например:

На квадратных неравенствах нам просто было удобно учиться его использовать.

Как же использовать метод интервалов для произвольных неравенств? Алгоритм практически не меняется: сначала нужно перенести все слагаемые в одну сторону, чтобы получить выражение вида: , где – любое выражение, зависящее от .

Как мы уже говорили, функция может менять свой знак только в двух случаях: если она проходит через ноль и если в какой-то точке она не определена.

В первом случае все понятно: чтобы перейти с на или обратно, непрерывная функция обязательно должна пройти через (см. рис. 22).

Конечно, не в любой такой точке будет происходить смена знака – функция может вести себя и так (см. рис. 23), или, например, парабола в точке (см. рис. 24).

Но наша задача – не пропустить ни одну из точек, в которых функция меняет свой знак, если же попадутся лишние – ничего страшного, на нескольких интервалах зря проверим знаки методом пробной точки.

Во втором случае смена знака тоже не обязательна, но возможна. Грубо говоря, если функция в какой-то точке не определена, то мы не можем гарантировать, что слева и справа от этой точки она ведет себя одинаково. А значит, вполне может поменять свой знак (см. рис. 25, 26).

Итак, идея метода интервалов: мы знаем, что «подозрительными» являются нули функции и выколотые точки ОДЗ. Конечно, в каких-то из них смена знака функции может и не происходить, но наша цель – точно не пропустить ни одну из таких точек.

Мы точно знаем, что на всех интервалах между этими точками функция не меняет свой знак, а значит, знак функции на этом интервале можно определить методом пробной точки. Запишем алгоритм.

1. Найти нули функции : решить уравнение . А также найти ОДЗ функции.

2. Отметить нули функции и ОДЗ на числовой прямой. Стоит отметить: если неравенство строгое, то нули функции сразу можно «выколоть»: нам не подойдут точки, в которых функция равна. Если же неравенство нестрогое, то, наоборот, нули функции надо заштриховать. Точки, которые не войдут в ОДЗ, всегда будут выколоты.

3. Проставить знаки на получившихся интервалах и выбрать нужные интервалы.

Кроме линейных и квадратных уравнений, вы уже умеете решать простые уравнения высших степеней, дробно-рациональные и иррациональные уравнения. А пользуясь методом интервалов, вы сможете решить и любые неравенства соответствующих типов. Примеры решений мы разберем на практическом уроке, а сейчас решим одно неравенство методом интервалов для закрепления алгоритма.

Пример 7. Решить неравенство:

Решение.

Начальный шаг пропускаем – неравенство уже приведено к необходимому нам виду.

1. Найдем ОДЗ – знаменатель дроби не равен :

Нули функции найти тоже несложно – дробь равна , если ее числитель равен :

Произведение равно , если хотя бы один из множителей равен :

2. Отмечаем точки , и из первого пункта на числовой оси. При этом точка выколота (она не входит в ОДЗ, и даже то, что неравенство нестрогое, а также является нулем функции, ее не спасает – если точка не входит в ОДЗ, то она никак не может быть решением). Точкии – закрашены, т. к. неравенство нестрогое, они являются нулями функции и точно войдут в ответ (см. рис. 27).

3. Определяем знаки на интервалах (обратите внимание: нам важны только знаки множителей, сами значения непринципиальны) (см. рис. 28):

Знак неравенства: , нас интересуют интервалы со знаками, получаем ответ:

У нас получилось, что в точке не произошло смены знака, хотя саму точкупришлось исключить, т. к. она не входит в ОДЗ. Если посмотреть на график функции, то понятно, почему так произошло (см. рис. 29).

Ответ:

Заключение

На этом наш урок подходит к концу. В заключение хотелось бы отметить, что, кроме перечисленных типов уравнений, при моделировании различных ситуаций могут встретиться и другие, более сложные уравнения и неравенства. Но разработаны компьютерные алгоритмы, которые позволяют найти их приближенные решения.

Другое дело, что нам полезно знать, какие именно идеи заложены в эти алгоритмы, чтобы знать, как работают машины, и понимать, что никакого чуда в решении ими сложных уравнений и неравенств нет.

Разбираться в этих методах нужно людям многих профессий: начиная от физиков, химиков и экономистов, заканчивая художниками фильмов и компьютерных игр. Ведь чтобы идеально смоделировать движение и взаимодействие объектов в фильме или игре, нужно очень учесть много параметров.

Список литературы

1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 9 класс. Учебник. – М.: ФГОС, издательство «Просвещение», 2018.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «cleverstudents.ru» (Источник)

2. Интернет-портал «kontromat.ru» (Источник)

Домашнее задание

1. Решить неравенство:

2. Сколько целочисленных решений имеет неравенство:

3. Решить неравенство: