Тема: Рациональные неравенства и их системы
Урок: Решение линейных и квадратных неравенств
1. Определение линейного неравенства
Линейные неравенства – это неравенства вида 
и они решаются двумя способами: эквивалентными преобразованиями либо с помощью графика функции. Рассмотрим второй способ на примерах:
2. Решение линейного неравенства графическим способом
1. Решить неравенство 
Построим график функции. Графиком является прямая, она пересекает ось oy в точке 1, ось ox в т.
Корень функции разбивает ось ox на два различных промежутка. На первом промежутке функция отрицательна, на втором – положительна.
Этого достаточно, чтобы решить линейное неравенство.
Ответ: 
Линейные неравенства эффективно решаются путем выбора интервалов, на которых функция сохраняет знак, т.е. до корня и после корня. Решением линейного неравенства, как правило, является луч.
3. Решение квадратного неравенства графическим способом
Рассмотрим квадратное неравенство
Оно решается с помощью свойств квадратичной функции 
Рассмотрим на примере.
2. Решить неравенство 
Рассмотрим функцию 
Построим ее график, для этого вначале найдем корни. По теореме Виета
Схематически изобразим параболу и определим интервалы знакопостоянства и знаки на них. Ветви параболы направлены вверх.
Вне интервала корней функция положительна, внутри интервала корней – отрицательна.
Ответ: 
Рассмотрим квадратичную функцию и её свойства в общем виде.
4. Квадратичная функция в общем виде, D>0
1. 
Функция имеет вид
значит, корни квадратного трехчлена различны, 
Графиком квадратичной функции является парабола, пересекающая ось ox в точках с абсциссами 
ветви параболы направлены вверх.
Вне интервала корней функция имеет положительный знак, внутри интервала корней – отрицательный.
Что можно сказать о функции, если 
Прежде всего, что она разлагается на линейные множители: 
Также для нее справедлива теорема Виета:
Найдем координаты вершины параболы.
Для квадратичной функции есть два возможных варианта неравенств:
Множество значений функции – луч от 
в положительном направлении. 
Точка пересечения с осью oy – т.
.
5. Квадратичная функция в общем виде, D=0
2. 
Как и в предыдущем случае, многочлен раскладывается на множители.
График функции – парабола, ветви направлены вверх.
Парабола касается оси ox в одной точке, которая и является вершиной параболы.
Рассмотрим возможные варианты неравенств:
Множество значений функции: 
График функции пересекается с осью oy в т.
6. Квадратичная функция в общем виде, D<0
3. 
Рассмотрим функцию 
означает, что уравнение не имеет корней, трехчлен нельзя разложить на множители и не выполняется теорема Виета.
Найдем координаты вершины: 
Схематически изобразим график – параболу, ветви направлены вверх.
В этом случае часто допускается стандартная ошибка – нет корней, значит, нет решений. Корней нет у квадратного уравнения, а решением неравенства является любое действительное число.
Множество значений функции 
Для более глубокого рассмотрения рекомендуется самостоятельно изучить случаи, когда 
1. 
2. 
3. 
Необходимо построить графики и расписать решения стандартных неравенств самостоятельно.
7. Решение задач
Мы подробно рассмотрели свойства квадратичной функции, которые лежат в основе решения задач.
Рассмотрим примеры.
1. 
Найти область определения функции.
Область определения функции задается неравенством 
т.к. трехчлен находится под корнем и в знаменателе.
Умножим обе части неравенства на 
.
Рассмотрим функцию 
найдем ее корни.
По теореме Виета 
Изобразим график функции. Точки -2 и 1 выколотые, т.к. неравенство строгое.
Поставленному условию удовлетворяет промежуток внутри интервала корней.
Ответ: 
Мы увидели на примере, что многие задачи сводятся к решению квадратного уравнения.
8. Решение неравенства с параметром
2. 
При каких значениях p данное уравнение имеет
два различных корня?
один корень?
не имеет корней?
Если p принимает конкретное значение, мы имеем конкретный квадратный трехчлен с конкретным значением дискриминанта,
Найдем дискриминант.
Рассмотрим функцию 
Найдем корни по теореме Виета.
Рассмотрим ось p и график функции 
Графиком является парабола, ветви направлены вверх.
Функция сохраняет положительный знак вне интервала корней, отрицательный знак – внутри интервала.
Ответ: Уравнение имеет
1. два различных корня, когда 
2. один корень, когда 
3. не имеет корней, когда 
19. Заключение
Мы рассмотрели решение линейных и квадратичных неравенств, некоторые свойства квадратичной функции, которые используются при решении квадратных неравенств.
Список рекомендованной литературы
1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.
2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.
4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.
6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.
Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы
1. Портал Естественных Наук (Источник).
2. Центр образования «Технология обучения» (Источник).
3. Электронный учебно-методический комплекс для подготовки 10-11 классов к вступительным экзаменам по информатике, математике, русскому языку (Источник).
4. Виртуальный репетитор (Источник).
5. Раздел College.ru по математике (Источник).
Рекомендованное домашнее задание
1.Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.№№ 8; 9; 15.
