Классы
Предметы
Мой профиль

Системы с рациональными неравенствами

На этом уроке мы будем рассматривать системы с рациональными неравенствами. Вначале вспомним решение систем линейных и линейно-квадратных неравенств. Вспомним понятие рационального выражения. Далее будем изучать решение систем с одной дробно-линейной функцией на разборе конкретных примеров и вырабатывать методику их решения.

Тема: Рациональные неравенства и их системы

Урок: Системы с рациональными неравенствами

1. Решение системы с рациональным неравенством

Ранее мы рассматривали системы линейных неравенств, затем ввели квадратные неравенства, а теперь вводим рациональное неравенство.

1.

Решаем первое неравенство методом интервалов.

1. Рассмотрим функцию

2. Область определения

3. Нули функции

4. Выделяем интервалы знакопостоянства.

5. Определяем знак функции на каждом промежутке (Рис. 1).

Неравенству удовлетворяют промежутки

Вернемся к системе.

 

Отметим все решения на координатной оси (Рис. 1а).

Ответ:

Методика решения более сложных систем точно такая же.

2. Сопутствующая задача

Рассмотрим сопутствующие задачи.

Найти наименьшее решение данного неравенства.

Ответ:

3. Решение этой же системы другим способом

Рассмотрим еще один способ решения данной системы и увидим, что иногда систему решать легче, чем неравенство.

Если

Знаменатель больше нуля, частное больше нуля, значит, и числитель должен быть больше нуля.

Поэтому должно выполняться только неравенство

 

Мы получили тот же ответ, но решение гораздо короче.

При решении системы необходимо учитывать влияние одного неравенства на второе.

4. Решение систем, сопутствующие задачи

Решить систему неравенств.

2.

Пользуемся только эквивалентными преобразованиями.

 

 

Числитель положительный, частное отрицательное, значит знаменатель отрицательный.

 

Ответ:

Сопутствующие задачи:

Укажите натуральные решения данной системы.

Ответ:

Укажите число натуральных решений.

Ответ:

Рассмотрим следующую систему неравенств.

3.

Решим первое неравенство методом интервалов. Рассмотрим функцию  

Область определения:

Нули:

 

Решим второе неравенство. Рассмотрим функцию  

 

График функции – парабола, ветви направлены вверх.

 

Получаем систему

Изобразим решения неравенств на координатной оси.

Ответ:

Сопутствующие задачи.

Найдите натуральное решение неравенства.

Ответ:

Найдите число натуральных решений.

Ответ: 1.

5. Заключение

Мы рассмотрели системы неравенств, где одно из неравенств рациональное.

Мы указали случаи, когда систему легче решить, чем неравенство, т.к. решение одного неравенства может многое сказать о решении второго.

В целом, методика сохраняется. Необходимо поочередно решить каждое неравенство и найти пересечение полученных множеств.

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Портал Естественных Наук (Источник).

2. Портал Естественных Наук (Источник).

3. Электронный учебно-методический комплекс для подготовки 10-11 классов к вступительным экзаменам по информатике, математике, русскому языку (Источник).

4. Виртуальный репетитор (Источник).

5. Центр образования «Технология обучения» (Источник).

6. Центр образования «Технология обучения» (Источник).

7. Раздел College.ru по математике (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. №№ 72; 73.