03. Графический метод решения системы уравнений

На этом уроке мы будем рассматривать решение систем двух уравнений с двумя переменными. Вначале рассмотрим графическое решение системы двух линейных уравнений, специфику совокупности их графиков. Далее решим несколько систем графическим методом.

Рассмотрим систему

Пару чисел , которая одновременно является решением и первого и второго уравнения системы, называют решением системы уравнений.

Решить систему  уравнений – это значит найти все её решения, или установить, что решений нет. Мы рассмотрели графики основных уравнений, перейдём к рассмотрению систем.

Пример 1. Решить систему

Решение:

Это линейные уравнения, графиком каждого из них является прямая. График первого уравнения проходит через точки и . График второго уравнения проходит через точки и . Прямые пересекаются в точке , это и есть решение системы уравнений (pис. 1).

Решением системы является пара чисел Подставив эту пару чисел в каждое уравнение, получим верное равенство.

Мы получили единственное решение линейной системы.

Ответ: .

Вспомним, что при решении линейной системы возможны следующие случаи:

• cистема имеет единственное решение – прямые пересекаются,

• система не имеет решений – прямые параллельны,

• система имеет бесчисленное множество решений – прямые совпадают.

Мы рассмотрели частный случай системы, когда и – линейные выражения от и .

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение:

График первого уравнения – прямая, график второго уравнения – окружность. Построим первый график по точкам (pис. 2).

Центр окружности в точке , радиус равен .

Графики пересекаются в т. и т. .

Ответ: .

Пример 3. Решить систему графически

Решение: Построим график первого уравнения – это окружность с центром в т. и радиусом . График второго уравнения – парабола. Она сдвинута относительно начала координат на вверх, т. е. её вершина – точка (рис. 3).

Графики имеют одну общую точку – т. . Она и является решением системы. Подставим пару чисел в уравнение, чтобы проверить правильность.

Ответ: .

Пример 4. Решить систему

Решение: Построим график первого уравнения – это окружность с центром в т. и радиусом 1 (pис. 4).

Построим график функции . Это ломаная (pис. 5).

Теперь сдвинем её на вниз по оси . Это и будет график функции .

Поместим оба графика в одну систему координат (pис. 6).

Получаем три точки пересечения – т. , т. , т. .

Ответ: .

Мы рассмотрели графический метод решения систем. Если можно построить график каждого уравнения и найти координаты точек пересечения, то этого метода вполне достаточно.

Но часто графический метод даёт возможность найти только приближенное решение системы или ответить на вопрос о количестве решений. Поэтому нужны и другие методы, более точные, и ими мы займёмся на следующих уроках.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Полезные ссылки

1. Интернет-проект «Задачи».

2. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ».

Проверь себя

1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 105, 107, 114, 115.