Пример 1

Решите систему уравнений:

Уравнение – это линейное уравнение, второе уравнение – – нелинейное. Значит, система вся нелинейная.

Решение:

Выбираем, что удобнее выразить, х или у. Подставлять нужно во второе уравнение, удобнее будет решать со значением в первой степени, значит, выразим у через х. Подставим первое уравнение во второе, имеем уравнение с одной неизвестной х, решаем его отдельно. Выписываем теорему Виета и получаем корни x₁ и x₂. Подставляем полученные значения х в первое уравнение.

Ответ: (6;5); (-4;-5).

– знак эквивалентности множества решений систем.

Пример 2

Решите систему уравнений:

Решение:

Из второго уравнения выражаем у. Подставляем в первое уравнение, полученное уравнение с одним неизвестным решаем отдельно. Упрощаем уравнение, разделяем обе части уравнения почленно на 2. Раскрываем скобки, приводим подобные члены, получаем квадратное уравнение. Для удобства избавляемся от знака минус перед х², умножив обе части уравнения на -1. Видно, что корни этого уравнения можно найти с помощью теоремы Виета. Получив корни данного уравнения, подставляем их в исходную систему, зная х₁, находим у₁_,а через х₂ находим у₂.

Ответ: (12;16); (4;0).

Пример 3

Решите систему уравнений:

Решение:

Из второго уравнения находим х через у. Полученное выражение подставляем в первое уравнение, решаем его отдельно. Раскрываем скобки, приводим подобные члены, затем сокращаем на 5. Полученное простое уравнение можно решить и через теорему Виета, и через дискриминант. Получив корни данного уравнения, подставляем их в исходную систему, зная у₁, находим х₁_,а через у₂ находим х₂.

Ответ: (3;1); (-3;-2)

Пример 4

Решите систему уравнений:

Решение:

В этом уравнении сначала необходимо избавиться от дроби, учитывая, что у+1≠0 т. е. у≠-1. Избавившись от дроби, получаем линейное уравнение, в котором х выражен через у, подставляем его в первое уравнение. Затем полученное уравнение сокращаем, для удобства решения, на 4 и находим у. Подставляем их в исходную систему, зная у₁, находим х₁_,а через у₂ находим х₂.

Ответ: (8;1); (-8;-3).

Пример 5

Решите систему уравнений:

Решение:

Для того чтобы решить систему, нужно упростить второе уравнение, при этом учесть ху≠0. Приводим все к общему знаменателю 4ху, дробь будет равна нулю, если знаменатель не равен нулю, а числитель равен нулю.

--=0

Вместо второго уравнения с дробями, ставим его выражение в виде, полученном после приведения к общему знаменателю. А из первого уравнения выражаем у через х. Подставляем во второе уравнение, раскрываем скобки, приводим подобные члены, решаем с помощью теоремы Виета. Получив корни данного уравнения, подставляем их в исходную систему, зная х₁, находим у₁_,а через х₂ находим у₂.

Ответ: (2;4); (12;-6).