07. Основные методы решения систем повышенной сложности

Тема урока, введение

Выбор метода решения системы зависит от её специфики. Основными являются стандартные методы – метод подстановки, метод алгебраического сложения, метод введения новых переменных. Возможны иные методы и их комбинации. Рассмотрим их на примерах.

Пример решения системы комбинацией методов подстановки и алгебраического сложения

Пример 1. Решить систему

Решение: Специфика данной системы в том, что второе уравнение раскладывается на множители.

Решение системы методом подстановки

Мы получили систему, линейную относительноиИсходную систему упростили методом подстановки. Полученную систему решаем методом алгебраического сложения.

Решение системы методом алгебраического сложения

Мы решили систему комбинацией методов подстановки и алгебраического сложения.

Ответ:

Решение систем уравнений

Пример 2. Решить систему

Решение: Можно сделать замену переменной и тем самым понизить степень уравнения. Но мы применим метод подстановки, выразимчерез

Получили биквадратное уравнение. По теореме Виетаили

Ответ:

Пример 3. Решить систему

Решение: Применим метод алгебраического сложения, чтобы избавиться от у.

Ответ:

Пример 4. Решить систему

Решение: Важно увидеть, что левая часть первого уравнения – это формула квадрата разности.

Мы получили линейную систему двух уравнений относительно x и y.

 Вычтем из первого уравнения второе.

Ответ:

Пример 5. Решить систему

Заметим, чтои произведем замену переменных:

Решаем систему относительно новых переменных:

Мы решили систему относительно новых переменных, перейдем к старым переменным.

Ответ:

Пример 6. Решить систему

Решение: Заметим одинаковые члены и почленно поделим одно уравнение на другое.

Мы можем сократить на только если, но это так и есть, т.к. в противном случае исходная система содержала бы противоречие.

По этой же причине и

Подставим x в первое уравнение.

Мы решили систему методом почленного деления уравнений.

Ответ:

Решение систем неоднородных уравнений второй степени

Пример 7. Решить систему

Решение:

В левой части каждого уравнения стоит квадратный трехчлен относительно x с параметром y. Каждый одночлен имеет степень 2, уравнение неоднородное. Есть метод решения таких уравнений, но справа должен быть 0. Умножим первое уравнение на -2.

Ответ:

Пример 8. Решить систему

Решение: Имеем систему двух неоднородных уравнений второй степени. Как и в предыдущей системе, нам необходимо обнулить правую часть одного из уравнений. Умножим первое уравнение на -2.

Мы получили однородное уравнение второй степени.

Решим первое уравнение путем деления на старшую степень x или y.

Тут возможны два вариантаили

1.В таком случае и Но это создает противоречие во втором уравнении системы.
2.

Разделим обе части уравнения на

Получили квадратное уравнение относительно

Корни квадратного уравнения

a.

b.

возникает противоречие, система не имеет решения.

Ответ:

Вывод, заключение

Мы рассмотрели системы двух уравнений с двумя неизвестными, решили их, обсудили методы решения. Важно, что эти системы были даны в явном виде. На следующих уроках нам придется получать системы, решая текстовые задачи.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Интернет-проект «Задачи» (Источник).
2. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 130 – 140(а).