Тема: Системы уравнений
Урок: Примеры
1. Решение задач с алгебраическим смыслом
Ранее мы уже составляли математические модели реальных ситуаций, но только те, которые описывались линейными системами. Сейчас мы научились решать нелинейные системы. Наша задача – научиться составлять математические модели с помощью нелинейных систем уравнений.
Задача 1. Сумма двух чисел равна 12, а их произведение равно 35. Найти эти числа.
Решение:
Первый этап – переведем словесную модель на математический язык. Пусть x и y – искомые числа. По условию 
Эта нелинейная система представляет собой математическую модель реальной ситуации.
Второй этап – работа с математической моделью.
;
Ответ: 
Обсудим связь полученной системы с квадратным уравнением. Воспользуемся теоремой Виета:
Это еще один способ решения системы.
Задача 2. Какое двузначное число в 4 раза больше суммы своих цифр и в 3 раза больше их произведения?
Решение:
Получим математическую модель. Пусть 
искомое число, x и y его цифры. 
сумма цифр искомого числа, 
произведение цифр. Составим систему.
Число двузначное, т.е. 
;
Ответ: 24.
Задача 3. Если к числителю и знаменателю дроби прибавить по единице, то дробь станет равна 
А если сложить квадраты числителя и знаменателя исходной дроби, то получится 122. Найдите эту дробь.
Решение:
Пусть x – числитель дроби, y – знаменатель дроби, 
– искомая дробь.
(методом подбора)
( по т.Виета) – не подходит по условию задачи.
Ответ: 
.
2. Решение задач с геометрическим смыслом
Задача 4. Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см. Его гипотенуза равна 37 см. Найти площадь прямоугольного треугольника.
Решение:
Дан прямоугольный 
Пусть x, y – катеты прямоугольного треугольника.
Тогда по условию задачи
Нам необходимо найти 
поэтому отдельно находить x и y не нужно.
Возведем в квадрат обе части первого уравнения:
Ответ: 
Задача 5. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 49 м, гипотенуза – 41 м. Найти площадь прямоугольного треугольника.
Решение:
Пусть x, y – катеты прямоугольного треугольника. Тогда
Возведем в квадрат обе части первого уравнения, получаем:
Ответ:
3. Заключение
Мы решили текстовые задачи, перевели русский язык на математический, получили нелинейные математические модели, решили их, и получили решения исходных задач. На следующем уроке мы рассмотрим задачи на движение.
Список рекомендованной литературы
1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.
2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.
4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.
6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.
Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы
1. Раздел College.ru по математике (Источник).
2. Интернет-проект «Задачи» (Источник).
3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).
Рекомендованное домашнее задание
Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 143, 146, 152, 164.
