Классы
Предметы
Мой профиль

Системы уравнений в задачах на работу

На этом уроке мы рассмотрим задачи на работу и их решение с помощью системы уравнений. Подробно рассмотрим составление математических моделей и их решение с помощью стандартных методов решений. Вспомним понятия и формулы объема работы, производительности и времени работы.

Тема: Системы уравнений

Урок: Системы уравнений в задачах на работу 

1. Тема урока, введение

В данном уроке будут рассмотрены задачи на работу. Как и в задачах на движение, здесь потребуется техника перевода из словесной модели в математическую, получение системы уравнений и её решение.

2. Решение задач

Задача 1.

Два комбайна, работая вместе, могут выполнить задание за 6 часов. Первый комбайн, работая один, может выполнить задание на 5 часов быстрее, чем второй комбайн. За сколько времени может выполнить задание первый комбайн, работая один?

Решение:

Вспомним основное уравнение для работы  

А – объем работы,

П – производительность,

Т – время.

 

 А 

П

Первый комбайн

1

x

Второй комбайн

1

  

Два комбайна вместе

1

  

   

Пусть всю работу первый комбайн может выполнить за x часов, с производительностью  Второй комбайн может выполнить всю работу за y часов, причем  с производительностью  Оба комбайна, работая вместе, имеют производительность    и выполняют всю работу за 6 часов, т.е. . Составим и решим систему.

 

 

Ответ: 10 часов.

Задача 2.

Две бригады, работая вместе, могут выполнить работу за 8 часов. Первая бригада, работая одна, могла бы выполнить эту работу на 12 часов быстрее, чем вторая бригада. За сколько часов могла бы выполнить всю работу первая бригада, если бы она работала одна?

Решение:

Опишем каждого участника работы на каждом участке работы, и выявим связи между ними.

 

А

П

Первая бригада

 1 

Вторая бригада

1

  

 Обе бригады вместе 

1

  

Первая бригада может выполнить всю работу за x часов с производительностью  Вторая бригада может выполнить всю работу за y часов,  с производительностью  Обе бригады вместе имеют производительность . Всю работу они выполнят за время

Составим и решим систему уравнений.

 

 

 

Ответ: 12 часов.

Задача 3.

Чан наполняется двумя кранами при совместной работе за 1 час. Наполнение чана только через первый кран длится вдвое больше, чем только через второй кран. За какой промежуток времени каждый кран может наполнить чан?

Решение:

 

А

П

Первый кран

1

Второй кран

1

y

 Оба крана вместе 

 1 

  

  

Пусть первый кран наполняет чан за x часов, с производительностью  Второй кран наполняет чан за y часов,  с производительностью  Оба крана выполняют работу с производительностью за время 1 часу Составим и решим систему.

 

 

Ответ: 3 часа и 1,5 часа.

Задача 4.

Два тракториста, работая вместе, вспахали поле за 48 часов. Если бы половину поля вспахал один из них, а затем оставшуюся половину другой, то работа была бы выполнена за 100 часов. За сколько часов мог бы вспахать поле каждый тракторист, работая отдельно?

Решение:

 

А

П

Первый трактор всю работу

1

x

Второй трактор всю работу

1

y

Два трактора вместе

1

  

  

 Первый трактор половину работы 

  

Второй трактор половину работы

Пусть первый трактор делает всю работу за x часов с производительностью  Пусть второй трактор делает всю работу за y часов с производительностью  Если они работают вместе, их производительность равна  и они будут работать 48 часов,  Если всё поле первый тракторист вспашет за x часов, то половину поля – за   часов. Аналогично, второй тракторист вспашет половину поля за   часов. По условию задачи 

Cоставим и решим систему.

 

 

 

 

 

Ответ: 120 часов и 80 часов.

3. Заключение

Мы решили серию текстовых задач на работу, используя стандартную методику для составления математической модели.

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Интернет-проект «Задачи» (Источник).

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 165, 170, 189, 190.