Двугранный угол

Двугранный угол и его линейный угол

Рассмотрим две пересекающиеся плоскости  и , которые пересекаются по прямой . Из точки A прямой проводим в плоскости  прямую , перпендикулярную . Аналогично, проведем в плоскости  прямую , перпендикулярную . Угол, образованный двумя прямыми  и  (), – линейный угол двугранного угла, образованного полуплоскостями  и  (рис. 1).

Рис. 1

Определение: двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей границей.

У двугранного угла есть линейный угол. Его можно найти, выбрав любую точку на линии пересечения и построить два перпендикуляра из этой точки, один из которых будет лежать в первой полуплоскости, а другой – во второй полуплоскости. Угол, образованный этими перпендикулярами к прямой пересечения, и будет линейным углом двугранного угла.

Другие способы построения двугранного угла

Еще один способ построения двугранного угла:

Есть две полуплоскости  и , прямая их пересечения . Можно взять точку M, не лежащую в полуплоскостях, и опустить из нее два перпендикуляра: на полуплоскость  –  и на полуплоскость  – .  и  образуют плоскость, которая рассечет прямую  в некоторой точке A. Тогда можно будет либо найти линейный угол, либо его дополнение до  (рис. 2).

Рис. 2

Замечание: если двугранный угол равен , то плоскости, его образующие, перпендикулярны.

Признак перпендикулярности плоскостей

Признак перпендикулярности плоскостей: Если есть прямая  перпендикулярна плоскости , то любая плоскость , проходящая через прямую , перпендикулярна  (рис. 3).

Рис. 3

Рассмотрим более детально первое стандартное построение:

Два перпендикуляра из одной точки образуют плоскость  – плоскость линейного угла (рис. 4).

Рис. 4

Свойства плоскости линейного угла

Свойства плоскости линейного угла:

Плоскость линейного угла перпендикулярна всем элементам двугранного угла (двум полуплоскостям и ребру).

Доказательство:

1. Прямая  перпендикулярна двум пересекающимся прямым  и  из плоскости , значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая  перпендикулярна плоскости .

2. Прямая  лежит в плоскости  и перпендикулярна плоскости , значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости  и  перпендикулярны.

3.  Прямая  лежит в плоскости  и перпендикулярна плоскости , значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости  и  перпендикулярны.

---

 

Решение задач

Задача №1:

Двугранный угол равен . Точка, выбранная на одной из граней, удалена от ребра угла на  см. Найдите расстояние от данной точки до второй грани (рис. 5).

Рис. 5

Решение

Расстояние от точки до плоскости – это перпендикуляр, опущенный из этой точки на данную плоскость. Построим в плоскости линейного угла перпендикуляр MH к прямой . Докажем, что перпендикуляр MH перпендикулярен всей плоскости : MH перпендикулярна  – по построению; MH перпендикулярна , так как ребро  перпендикулярно всей плоскости линейного угла. Так как прямые  и  лежат в плоскости , пересекаются и перпендикулярны MH, то прямая MH перпендикулярна плоскости . Значит MH – искомое расстояние. Рассмотрим прямоугольный треугольник AHM ():  см, , нужно найти катет HM.

 см

Ответ: расстояние от точки M до плоскости  равно 9 см.

Выводы:

Было рассмотрено понятие двугранного угла, его линейный угол, рассмотрены свойства двугранного угла и плоскости линейного угла и решена задача, в которой используются эти свойства.

 

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Yaklass.ru (Источник).
2. Festival.1september.ru (Источник).
3. Tutoronline.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Сколько основных способов построения двугранного угла вы знаете?
2. Всегда ли две пересекающиеся плоскости образуют двугранный угол?
3. У двугранного угла всегда есть линейный угол?
4. Можно ли, зная лишь значение линейного угла, быть уверенным насчет перпендикулярности плоскостей, его образующих?
5. Если двугранный угол равен , можно ли утверждать, что все три плоскости (две грани двугранного угла и плоскость линейного угла) взаимно перпендикулярны?