Найти расстояние между скрещивающимися прямыми и .

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это длина их общего перпендикуляра.

Для нахождения такого перпендикуляра часто используется метод перпендикулярной плоскости: строится плоскость, перпендикулярная одной из прямых. На нее проектируются обе скрещивающиеся прямые, причем проекцией перпендикулярной прямой будет точка на плоскости, а проекцией второй прямой – прямая на плоскости. Тогда искомое расстояние между скрещивающимися прямыми будет равно расстоянию от точки на плоскости до прямой на плоскости (рис. 4).

Рис. 4

Существует другой метод нахождения. Берется плоскость, перпендикулярная не прямой, а плоскости, содержащей одну из скрещивающихся прямых, и параллельная второй. В таком случае вся плоскость, содержащая первую прямую, проектируется в прямую на перпендикулярной плоскости, и плоскость, содержащая вторую скрещивающуюся прямую и параллельная первой, также проектируется в прямую на плоскости. Так как плоскости, содержащие скрещивающиеся прямые, параллельны, то их проекции параллельны. Значит, расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными прямыми на плоскости (рис. 5).

Рис. 5

Задачи:

Задача №1:

Дан куб . Известно расстояние между скрещивающимися прямыми и , равное . Найти сторону куба (рис. 6).

Рис. 6

Решение

Для использования метода перпендикулярной плоскости найдем эту плоскость: перпендикулярной плоскостью является плоскость основания (ABC), так как . Проектируем обе прямые на эту плоскость. Проекцией является точка A. Проекцией является диагональ BD (так как проектируется в B, а D – сама в себя). Данное по условию расстояние между скрещивающимися прямыми и является расстоянием между точкой A и прямой BD, то есть половиной диагонали квадрата в основании (). Рассмотрим прямоугольный треугольник (): в нем катеты равны (), значит, по теореме Пифагора, можно найти гипотенузу:

Ответ: ребро куба равно .

Задача №2:

Дан куб , ребро которого равно 1 см. Найти расстояние между скрещивающимися диагоналями двух смежных граней куба (рис. 7).

Рис. 7

Решение

Проведем диагонали и спроектируем на диагонали точки и A (проведем и AO). Получим две плоскости () и (). Докажем, что полученные плоскости параллельны: , и прямые и , и пересекаются, значит, плоскости параллельны. Плоскости () и () перпендикулярны плоскости (), так как прямые и AO перпендикулярны этой плоскости и лежат в соответствующих плоскостях. Значит, искомое расстояние есть длина перпендикуляра между прямыми . Рассмотрим прямоугольный треугольник (): см, так как BD – диагональ квадрата в основании и равна произведению корня из двух на его сторону, а BO – половина BD, см, как высота куба. Найдем гипотенузу :

см.

Площадь треугольника равна половине произведения катетов и равна половине произведения высоты на гипотенузу. Отсюда найдем высоту:

см

Ответ: расстояние между скрещивающимися диагоналями двух смежных граней куба равно см.

Выводы:

Были рассмотрены две задачи на скрещивающиеся прямые: первая решена методом перпендикулярной плоскости к одной из прямых, вторая – методом перпендикулярной плоскости к плоскости, содержащей скрещивающуюся прямую и параллельной второй из скрещивающихся прямых.

Список литературы

И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Yaklass.ru (Источник).
Sites.google.com (Источник).
Egemaximum.ru (Источник).

Домашнее задание

Что такое куб?
Какие прямые в кубе скрещивающиеся?
Могут ли скрещивающиеся прямые лежать в параллельных плоскостях, например, в противоположных гранях куба?
Возможно ли найти расстояние между скрещивающимися прямыми без построения плоскостей?
Какой угол между скрещивающимися ребрами куба, лежащими в противоположных гранях куба?