Куб

Свойства скрещивающихся прямых

Некоторые свойства скрещивающихся прямых:

Через прямую  можно провести плоскость , параллельную прямой , и притом только одну. Для этого нужно взять на прямой  любую точку и провести через нее прямую, параллельную . Затем через полученную прямую и прямую  построить плоскость .

Доказательство: аналогично, через прямую  нужно провести плоскость , параллельную . Взять на прямой  любую точку и провести через нее прямую, параллельную . Тогда получим в одной плоскости две пересекающиеся прямые, параллельные двум пересекающимся прямым в другой плоскости, значит, такая плоскость единственна (рис. 1).

Рис. 1

Признак скрещивающихся прямых

Признак скрещивающихся прямых: если прямая пересекает плоскость, в которой лежит вторая прямая, в точке, которая не лежит на первой прямой, то прямые скрещивающиеся (рис. 2).

Рис. 2

Стандартные задачи на скрещивающиеся прямые

Две стандартные задачи на скрещивающиеся прямые:

Найти угол между скрещивающимися прямыми  и .

Угол между скрещивающимися прямыми: необходимо взять точку и провести через нее прямые, параллельные скрещивающимся. Угол между этими параллельными прямыми и будет углом между скрещивающимися прямыми (рис. 3).

Рис. 3

Решение задачи на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми в кубе

Найти расстояние между скрещивающимися прямыми  и .

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это длина их общего перпендикуляра.

Для нахождения такого перпендикуляра часто используется метод перпендикулярной плоскости: строится плоскость, перпендикулярная одной из прямых. На нее проектируются обе скрещивающиеся прямые, причем проекцией перпендикулярной прямой будет точка на плоскости, а проекцией второй прямой – прямая на плоскости. Тогда искомое расстояние между скрещивающимися прямыми будет равно расстоянию от точки на плоскости до прямой на плоскости (рис. 4).

Рис. 4

Существует другой метод нахождения. Берется плоскость, перпендикулярная не прямой, а плоскости, содержащей одну из скрещивающихся прямых, и параллельная второй. В таком случае вся плоскость, содержащая первую прямую, проектируется в прямую на перпендикулярной плоскости, и плоскость, содержащая вторую скрещивающуюся прямую и параллельная первой, также проектируется в прямую на плоскости. Так как плоскости, содержащие скрещивающиеся прямые, параллельны, то их проекции параллельны. Значит, расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными прямыми на плоскости (рис. 5).

Рис. 5

Задачи:

Задача №1:

Дан куб . Известно расстояние между скрещивающимися прямыми  и , равное . Найти сторону куба (рис. 6).

Рис. 6

Решение

Для использования метода перпендикулярной плоскости найдем эту плоскость: перпендикулярной плоскостью является плоскость основания (ABC), так как . Проектируем обе прямые на эту плоскость. Проекцией  является точка A. Проекцией  является диагональ BD (так как  проектируется в B, а D – сама в себя). Данное по условию расстояние между скрещивающимися прямыми  и  является расстоянием между точкой A и прямой BD, то есть половиной диагонали квадрата в основании (). Рассмотрим прямоугольный треугольник  (): в нем катеты равны (), значит, по теореме Пифагора, можно найти гипотенузу:

Ответ: ребро куба равно .

Задача №2:

Дан куб , ребро которого равно 1 см. Найти расстояние между скрещивающимися диагоналями двух смежных граней куба (рис. 7).

Рис. 7

Решение

Проведем диагонали и спроектируем на диагонали точки  и A (проведем  и AO). Получим две плоскости () и (). Докажем, что полученные плоскости параллельны: ,  и прямые  и ,  и  пересекаются, значит, плоскости параллельны. Плоскости () и () перпендикулярны плоскости (), так как прямые  и AO перпендикулярны этой плоскости и лежат в соответствующих плоскостях. Значит, искомое расстояние есть длина перпендикуляра между прямыми . Рассмотрим прямоугольный треугольник  ():  см, так как BD – диагональ квадрата в основании и равна произведению корня из двух на его сторону, а BO – половина BD,  см, как высота куба. Найдем гипотенузу :

 см.

Площадь треугольника  равна половине произведения катетов и равна половине произведения высоты на гипотенузу. Отсюда найдем высоту:

 см

Ответ: расстояние между скрещивающимися диагоналями двух смежных граней куба равно  см.

Выводы:

Были рассмотрены две задачи на скрещивающиеся прямые: первая решена методом перпендикулярной плоскости к одной из прямых, вторая – методом перпендикулярной плоскости к плоскости, содержащей скрещивающуюся прямую и параллельной второй из скрещивающихся прямых.

 

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Yaklass.ru (Источник).
2. Sites.google.com (Источник).
3. Egemaximum.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Что такое куб?
2. Какие прямые в кубе скрещивающиеся?
3. Могут ли скрещивающиеся прямые лежать в параллельных плоскостях, например, в противоположных гранях куба?
4. Возможно ли найти расстояние между скрещивающимися прямыми без построения плоскостей?
5. Какой угол между скрещивающимися ребрами куба, лежащими в противоположных гранях куба?