Cтереометрия, основные фигуры стереометрии
Определение: стереометрия – это часть геометрии, которая изучает свойства фигур в пространстве.
Основные фигуры стереометрии – это точка, прямая и плоскость. Их взаимоотношение регулируется основными аксиомами стереометрии.
В стереометрии две прямые могут быть пересекающимися, совпадающими, параллельными или скрещивающимися.
Если прямые 
и 
пересекаются в точке 
, то они образуют плоскость 
. Т. е. они лежат в одной плоскости, которая образована этими пересекающимися прямыми (рис. 1).
Рис. 1
Если прямые и параллельны, то они не имеют общих точек, но лежат в одной плоскости (рис. 2).
Рис. 2
Расположение прямых в пространстве, признак скрещивающихся прямых
Определение: если прямые и не лежат в одной плоскости, то они называются скрещивающимися прямыми.
Признак скрещивающихся прямых: если есть плоскость и в ней лежит прямая и есть прямая , которая пересекает плоскость в точке 
, которая не принадлежит прямой , то прямые и не лежат в одной плоскости, а значит, являются скрещивающимися (рис. 3).
Рис. 3
Рассмотрим скрещивающиеся прямые на примере треугольной пирамиды (рис. 4):
Рис. 4
Противоположные ребра 
и 
– скрещивающиеся, так как лежит в плоскости основания, а пересекает плоскость основания в точке 
, не принадлежащей . Отсюда следует вывод: противоположенные ребра треугольной пирамиды лежат на скрещивающихся прямых.
Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, признак параллельности прямой и плоскости
Рассмотрим взаимоотношение прямой и плоскости:
Если две точки прямой лежат в плоскости , то прямая лежит в плоскости (рис. 5).
Рис. 5
Если у плоскости и прямой есть только одна общая точка, то прямая пересекается с плоскостью (рис. 6).
Рис. 6
Если прямая не имеет общих точек с плоскостью , то прямая параллельна плоскости .
Признак параллельности прямой и плоскости: если есть прямая 
, которая параллельна прямой и лежит в плоскости , то прямая параллельна плоскости (рис. 7).
Рис. 7
Доказательство: две параллельные прямые и образуют плоскость 
. Если у плоскости и прямой была бы общая точка, то она бы лежала в плоскости . Но в этом случае эти прямые имели бы общую точку и были пересекающимися, что противоречит условию задачи (рис. 8).
Рис. 8
Расположение плоскостей в пространстве, признак параллельности плоскостей
Взаимоотношение плоскостей в пространстве:
Они могут совпадать. Плоскость может пересекаться с плоскостью . При этом, у них будет общая прямая пересечения (рис. 9). Полуплоскости и , ограниченные прямой , образуют двугранный угол.
Рис. 9
Плоскость параллельна плоскости , если у них нет общих точек.
Признак параллельности плоскостей: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым второй плоскости, то эти плоскости параллельны (рис.10).
Рис. 10
Задачи на способы построения сечений
Задача №1:
Дан тетраэдр 
и точки , 
, 
, соответственно лежащие на ребрах 
, и . Прямая 
не параллельна прямой 
. Построить сечение данного тетраэдра плоскостью (
) (рис. 11).
Рис. 11
Решение
Построим линии и 
, которые принадлежат секущей плоскости и плоскостям (
) и (
) соответственно. Продолжим прямую до точки пересечения с прямой . Полученная точка пересечения 
является точкой пересечения трех плоскостей (
), (
), (), поэтому ее можно соединить с точкой , которая лежит в плоскости (). На пересечении прямой 
с прямой 
, получим точку 
. Соединив точки с и с , получим последние линии пересечения 
и 
.
Ответ: построено сечение, являющееся четырехугольником.
Задача №2:
Дан тетраэдр и точки , , , соответственно лежащие на ребрах , и . Прямая не параллельна прямой . Построить сечение данного тетраэдра плоскостью () (рис. 12).
Рис. 12
Решение
Построим линии и , которые принадлежат секущей плоскости и плоскостям () и () соответственно. Из точки проведем прямую пересечения , параллельную . Соединив точки и , получим последнюю линию пересечения .
Ответ: построено сечение, являющееся четырехугольником.
Выводы:
Были рассмотрены прямые и плоскости в пространстве, взаимоотношение отдельных прямых, прямой и плоскости, плоскостей, и рассмотрена типовая задача на сечение тетраэдра.
Список литературы
- И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
- Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
- Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Могут ли пересечься скрещивающиеся прямые?
- Сколько в треугольной пирамиде пар скрещивающихся прямых?
- Могут ли скрещиваться прямая и плоскость?
- Почему параллельные плоскости не могут иметь общую прямую?
- Дан тетраэдр , точка на грани . Построить сечение тетраэдра плоскостью, параллельной плоскости основания и проходящей через точку .
