Определение прямой, перпендикулярной плоскости
Определение: прямая 
называется перпендикулярной плоскости 
, если она перпендикулярна любой прямой из плоскости .
Прямая перпендикулярна прямой 
, прямая 
параллельна прямой . Тогда имеем две скрещивающиеся прямые и 
. Найдем угол между этими скрещивающимися прямыми: необходимо из точки A, провести две прямые: одну – параллельную , вторую – параллельную . Угол между построенными прямыми и будет углом между скрещивающимися прямыми
и . Возьмем точку A, лежащую на прямой и являющуюся точкой пересечения прямой и плоскости. Тогда угол между прямыми и равен углу между и , то есть, прямые перпендикулярны. Значит, если прямая перпендикулярна плоскости , то она перпендикулярна всем прямым плоскости , причем как проходящим через точку пересечения прямой и плоскости, так и не проходящим (рис. 1).
Рис. 1
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если в плоскости есть две пересекающиеся прямые и 
и прямая перпендикулярна этим двум прямым и проходит через точку их пересечения, то прямая перпендикулярна плоскости (рис. 2).
Рис. 2
Если прямая перпендикулярна плоскости и прямая 
перпендикулярна плоскости , то прямые и параллельны (рис. 3).
Рис. 3
Наклонная к плоскости и ее проекция, угол между наклонной и плоскостью
Определение: если прямая пересекается с плоскостью и не перпендикулярна этой плоскости, то такая прямая называется наклонной к плоскости (рис. 4).
Рис. 4
Существует возможность узнать угол между наклонной прямой 
и плоскостью . Для этого необходимо провести из точки B, принадлежащей наклонной, перпендикуляр BH к плоскости , а затем соединить точки пересечения плоскости с наклонной и перпендикуляром. Полученный отрезок AH называется проекцией наклонной на плоскость . Угол между наклонной и ее проекцией на плоскости и называется углом между наклонной и плоскостью (
) (рис. 5).
Рис. 5
Замечание: если провести любую прямую в плоскости , отличную от проекции, то угол, между проведенной прямой и наклонной всегда будет больше, чем между наклонной и ее проекцией.
Теорема о трех перпендикулярах с доказательством
Теорема о трех перпендикулярах: Прямая 
лежит в плоскости . Наклонная AB проходит через прямую (
). Опустим на плоскость перпендикуляр BH и получим проекцию AH. Если наклонная AB перпендикулярна прямой на плоскости , то ее проекция AH тоже перпендикулярна прямой . Обратно: если проекция AH перпендикулярна прямой , то и наклонная AB перпендикулярна (рис. 6).
Рис. 6
Доказательство:
Дана наклонная AB, перпендикулярная прямой на плоскости . Доказать, что проекция AH наклонной AB перпендикулярна .
Доказательство: прямая перпендикулярна AB по условию, и перпендикулярна BH, так как BH перпендикулярна ко всей плоскости , а значит и к любой прямой внутри нее. Прямая перпендикулярна прямым AB и BH, и прямые AB и BH пересекаются в точке B. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая перпендикулярна любой прямой из плоскости (ABH), образованной прямыми AB и BH, а значит, она перпендикулярна и проекции AH.
Решение задачи
Задача №1:
Через точку пересечения диагоналей квадрата ABCD, сторона которого равна 
, проведена прямая OK, перпендикулярная плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки K до вершин квадрата, если 
(рис. 7).
Рис. 7
Решение
– по двум катетам, так как это прямоугольные треугольники (OK перпендикулярен всем прямым плоскости квадрата, включая диагонали этого квадрата) и катет OK общий, а вторые катеты треугольников равны (это следует из свойств квадрата – его диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам, значит 
).
Так как треугольники равны, то и их гипотенузы, являющиеся искомым расстоянием от точки K до вершин квадрата, также равны. Следовательно, нам необходимо найти длину лишь одной из гипотенуз, например, AK.
Рассмотрим треугольник ABO: это прямоугольный треугольник с равными катетами, так как диагонали квадрата равны, пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, углы 
и 
равны 
, и из условия известно, что гипотенуза равна – значит, можно найти катеты:
.
Рассмотрим треугольник AKO: 
, , 
. Найдем гипотенузу AK:
.
Ответ: расстояние от точки K до вершин квадрата равно 
.
Выводы:
Было рассмотрено взаимоотношение прямой и плоскости, когда прямая перпендикулярна плоскости, рассмотрена и прокомментирована теорема о трех перпендикулярах и решена конкретная задача, в которой эти понятия используются.
Список литературы
- И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
- Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
- Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Yaklass.ru (Источник).
- Yaklass.ru (Источник).
- Festival.1september.ru (Источник).
- Slideshare.net (Источник).
Домашнее задание
- Если прямая перпендикулярна плоскости, то перпендикулярна ли она скрещивающейся прямой, лежащей в этой плоскости?
- Может ли наклонная быть перпендикулярна к плоскости?
- Могут ли наклонная к плоскости и перпендикуляр к этой плоскости образовать новую плоскость?
- В формулировке теоремы о трех перпендикулярах речь идет о двух перпендикулярах (наклонной к прямой в плоскости и проекции этой наклонной к этой же прямой в плоскости), так о каком третьем перпендикуляре говорит название теоремы?
- Через точку пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна , проведена прямая OK, перпендикулярная плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки K до вершин квадрата и расстояние от точки K до сторон квадрата, если .
