Задача №1:

Через точку пересечения диагоналей квадрата ABCD, сторона которого равна , проведена прямая OK, перпендикулярная плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки K до вершин квадрата, если (рис. 7).

Рис. 7

Решение

– по двум катетам, так как это прямоугольные треугольники (OK перпендикулярен всем прямым плоскости квадрата, включая диагонали этого квадрата) и катет OK общий, а вторые катеты треугольников равны (это следует из свойств квадрата – его диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам, значит ).

Так как треугольники равны, то и их гипотенузы, являющиеся искомым расстоянием от точки K до вершин квадрата, также равны. Следовательно, нам необходимо найти длину лишь одной из гипотенуз, например, AK.

Рассмотрим треугольник ABO: это прямоугольный треугольник с равными катетами, так как диагонали квадрата равны, пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, углы и равны , и из условия известно, что гипотенуза равна – значит, можно найти катеты:

.

Рассмотрим треугольник AKO: , , . Найдем гипотенузу AK:

.

Ответ: расстояние от точки K до вершин квадрата равно .

Выводы:

Было рассмотрено взаимоотношение прямой и плоскости, когда прямая перпендикулярна плоскости, рассмотрена и прокомментирована теорема о трех перпендикулярах и решена конкретная задача, в которой эти понятия используются.

Список литературы

И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Yaklass.ru (Источник).
Yaklass.ru (Источник).
Festival.1september.ru (Источник).
Slideshare.net (Источник).

Домашнее задание

Если прямая перпендикулярна плоскости, то перпендикулярна ли она скрещивающейся прямой, лежащей в этой плоскости?
Может ли наклонная быть перпендикулярна к плоскости?
Могут ли наклонная к плоскости и перпендикуляр к этой плоскости образовать новую плоскость?
В формулировке теоремы о трех перпендикулярах речь идет о двух перпендикулярах (наклонной к прямой в плоскости и проекции этой наклонной к этой же прямой в плоскости), так о каком третьем перпендикуляре говорит название теоремы?
Через точку пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна , проведена прямая OK, перпендикулярная плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки K до вершин квадрата и расстояние от точки K до сторон квадрата, если .