Пирамида

Повторение взаимного расположения элементов в пространстве

В стереометрии две прямые могут совпадать, пересекаться, быть параллельными и скрещиваться.

Взаимоотношение между прямой и плоскостью в пространстве: прямая может лежать в плоскости, может пересекаться с ней и может быть параллельной плоскости.

Взаимоотношение между плоскостями в пространстве: две плоскости могут совпадать, пересекаться или быть параллельными друг другу.

Рассмотрим случай, когда плоскости пересекаются.

Плоскость  пересекается с плоскостью  по прямой . При этом образуются две полуплоскости, которые образуют двугранный угол. В большинстве случаев требуется построить и найти линейный угол. Для этого на ребре  выбирается точка M и из нее восстанавливаются два перпендикуляра к этому ребру: первый – , лежащий в плоскости , второй – , лежащий в плоскости . Угол между прямыми  и  и есть угол между плоскостями  и  (рис. 1).

Рис. 1 Двугранный угол

Повторение свойств плоскости линейного угла с доказательствами

Плоскость линейного угла перпендикулярна всем элементам двугранного угла (двум полуплоскостям и ребру) (рис. 2).

Рис. 2

Доказательство:

1. Прямая  перпендикулярна двум пересекающимся прямым  и  из плоскости , значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая  перпендикулярна плоскости .

2. Прямая  лежит в плоскости  и перпендикулярна плоскости , значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости  и  перпендикулярны.

3. Прямая  лежит в плоскости  и перпендикулярна плоскости , значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости  и  перпендикулярны.

Решение задач по теме "Пирамида", двугранный угол при основании пирамиды

Задача №1:

В основании пирамиды ABCD лежит правильный треугольник ABC. Длина вписанной в треугольник ABC окружности равна  см. Боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом . Найти площадь основания, высоту OD, ребро пирамиды, апофему грани пирамиды, двугранный угол при основании пирамиды, постройте линейный угол при боковом ребре (рис. 3).

Рис. 3 Задача найти двугранный угол при основании пирамиды

Решение

Длина окружности равна  и равна . Значит, радиус вписанной окружности равен 1 см. Вписанная в правильный треугольник ABC окружность пересекается со стороной BC в точке , и отрезок  является радиусом этой окружности. По свойствам медиан:

 см

 является высотой и состоит из радиуса вписанной окружности и радиуса описанной окружности:  см. В прямоугольном треугольнике  () катет  см, а угол . Найдем гипотенузу этого треугольника, являющуюся стороной треугольника ABC:

 см

Найдем площадь основания:

Докажем, что высота пирамиды DO проектируется в центр треугольника ABC, то есть, что пирамида ABCD – правильная. Рассмотрим треугольники . Они равны, так как они прямоугольные (), имеют общий катет DO и одинаковый угол наклона, равный . Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон (), значит, O – центр треугольника. Таким образом, пирамида правильная, так как в ее основании правильный треугольник и ее высота проектируется в его центр. Из треугольника DOC, найдем высоту OD и сторону DC.  прямоугольный (, катет  см, угол . Получается , а катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы, значит,  см. Высота OD:

 см.

Для двугранного угла найдем апофему . Рассмотрим :  является гипотенузой, значит:

 см.

Найдем двугранный угол при основании пирамиды: из точки  проведены два перпендикуляра в плоскостях (ABC) и (ABD) (т. к.  – середина AB и, соответственно,  и  – биссектриса и высота правильного треугольника ABC и равнобедренного треугольника ABD), значит,  – линейный угол двугранного угла. Найдем для него тангенс из треугольника DC₁O:

Построим линейный угол при боковом ребре: Проведем из точки A перпендикуляр AP (). Соединим B с P и получим перпендикуляр BP к прямой DC. , так как треугольники ACP и BCP равны по двум сторонам и углу между ними (, PC – общая, ). Значит, двугранный угол при ребре DC, то есть угол между плоскостями (DCA) и (DCB), построен ().

Ответ: площадь основания равна , высота OD равна  см, сторона пирамиды равна 4 см, апофема грани пирамиды равна  см, двугранный угол при основании равен .

Выводы:

Была рассмотрена типовая задача на правильную пирамиду. Было доказано, что пирамида правильная, и найдены различные неизвестные. Было найдено значение двугранного угла при основании пирамиды, и построен угол при боковом ребре.

 

Список литературы по теме "Пирамида", "Двугранный угол при основании пирамиды", "Взаимное расположение элементов в пространстве"

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Yaklass.ru (Источник).
2. Festival.1september.ru (Источник).
3. Slideshare.net (Источник).

 

Домашнее задание

1. Что такое двугранный угол?
2. Если пересекаются две плоскости, могут ли они образовывать хотя бы два неравных двугранных угла?
3. В правильной пирамиде апофема никогда не перпендикулярна плоскости основания, можно ли утверждать, что она высота одной из граней пирамиды?
4. В основании пирамиды лежит правильный треугольник, достаточно ли этого для того, чтобы утверждать, что она правильная?
5. В основании пирамиды ABCD лежит правильный треугольник ABC. Длина вписанной в треугольник ABC окружности равна  см. Боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом . Постройте линейный угол при боковом ребре и найдите его значение.