Пирамиды с боковой гранью, перпендикулярной плоскости основания

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Опорные факты:

Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если в плоскости  есть две пересекающиеся прямые  и , и прямая  перпендикулярна этим двум прямым и проходит через точку их пересечения, то прямая  перпендикулярна плоскости  (рис. 1).

Рис. 1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Плоскости называются перпендикулярными, если они составляют двугранный угол .

Признак перпендикулярности плоскостей

Признак перпендикулярности плоскостей: Если есть прямая , перпендикулярная плоскости , то любая плоскость , проходящая через прямую , перпендикулярна  (рис. 2).

Рис. 2. Признак перпендикулярности плоскостей

Задачи на пирамиды с боковой гранью, перпендикулярной плоскости основания

Задача 1

Основание пирамиды – квадрат со стороной 6 см. Высота пирамиды проходит через одну из вершин основания и равна 8 см. Докажите, что боковые грани пирамиды – попарно равные прямоугольные треугольники. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к задаче 1

Решение

Так как прямая , то  (, SA – общий катет,  см – по условию, значит они равны по двум катетам).

Для наклонной SB, проекцией является прямая AB.  – по условию, значит, по теореме о трех перпендикулярах, . Значит,  – прямоугольный.

Аналогично:  – прямоугольный, так как  и, соответственно, .

, так как , SC – общая гипотенуза,  см – по условию, значит, они равны по катету и гипотенузе.

Найдем площадь треугольника SAB: .

Найдем площадь треугольника SBC: .

Найдем площадь боковой поверхности, учитывая, что она равна сумме 4 треугольников, которые попарно равны: .

Ответ: площадь боковой поверхности равна .

 

Выводы

Были рассмотрены основные опорные факты для пирамид с боковой гранью, перпендикулярной плоскости основания.

 

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Yaklass.ru (Источник).
2. Festival.1september.ru (Источник).
3. Mathnet.spb.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. При любом ли основании пирамиды возможен случай проекции высоты пирамиды на грань основания?
2. Какую теорему необходимо использовать для доказательства перпендикулярности бокового ребра пирамиды прямой в основании пирамиды, если этой прямой в основании перпендикулярна проекция бокового ребра?
3. Может ли высота правильной пирамиды проектироваться в ребро основания?
4. Найдите сторону ромба, лежащего в основании пирамиды, если ее высота, равная 6 см, проектируется на эту сторону и образует с боковым ребром угол ?
5. Какой угол между высотой и ребром пирамиды, если высота проектируется на середину ребра основания и равна его половине?