Задача 2

Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 6 см, 5 см, 5 см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом . Найдите высоту пирамиды (рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 2

Решение

Пусть DO – высота (). Опустим перпендикуляры , , . Так как , то , значит по условию. Аналогично и . Значит , потому что они прямоугольные (DO – высота), углы при основании пирамиды равны и катет DO – общий.

Из равенства треугольников вытекает равенство катетов , то есть точка O равноудалена от сторон треугольника, а значит является центром вписанной окружности.

Рассмотрим : его площадь равна и равна , где r – радиус вписанной окружности, а p – полупериметр. Найдем r:

см.

см, так как – прямоугольный и «египетский» (стороны равны 3 см, 4 см, 5 см).

см.

Так как острые углы в треугольнике равны , то см.

Ответ: высота пирамиды 1,5 см.

Выводы

Были рассмотрены две задачи на пирамиды, в которых высота проектируется в центр описанной или вписанной окружности.

Список литературы по теме "Вниманная, описанная окружность", "Основание пирамиды"

И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Yaklass.ru (Источник).
Festival.1september.ru (Источник).
Uznateshe.ru (Источник).

Домашнее задание

При каком основании пирамиды возможен случай проекции высоты пирамиды в основание окружности вписанной, но не в основание вписанной?
Что нужно для доказательства того, что высота пирамиды проектируется в центр вписанной окружности?
Найдите диагональ прямоугольника в основании пирамиды с боковыми ребрами равными 8 см, и высотой 4 см.
Найдите сторону ромба, лежащего в основании пирамиды, если ее высота равна 6 см, а все ребра грани с плоскостью основания углы ?
Какой угол между высотой и ребром пирамиды, если все боковые ребра равны радиусу описанной около основания окружности?