Пирамиды с высотой в центре вписанной или описанной окружности основания

Задачи на пирамиды, в которых высота проектируется в центр описанной окружности

Замечание: если боковые грани наклонены под одинаковым углом к плоскости основания, то высота проектируется в центр вписанной окружности. Если боковые ребра одинаковы или наклонены под одинаковым углом к основанию, то высота проектируется в центр описанной окружности.

Задача 1

Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 12 см и 16 см. Все боковые ребра пирамиды равны 26 см. Доказать, что высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и найти высоту пирамиды (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к задаче 1

Решение

Пусть SO – высота (). Соединим точку O с вершинами основания. Получим четыре равных треугольника  по гипотенузе и катету (так как они прямоугольные (SO – высота), катет SO – общий, а гипотенузы равны по условию).

Из равенства треугольников следует равенство катетов: . Значит, точка O равноудалена от всех вершин основания и поэтому является центром описанной около прямоугольника в основании окружности.

Найдем диагональ BD, из треугольника :

 см.

Рассмотрим треугольник : он прямоугольный,  см,  см. По теореме Пифагора найдем OS:

 см.

Ответ: высота равна 24 см.

Задачи на пирамиды, в которых высота проектируется в центр вписанной окружности

Задача 2

Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 6 см, 5 см, 5 см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом . Найдите высоту пирамиды (рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 2

Решение

Пусть DO – высота (). Опустим перпендикуляры , , . Так как , то , значит  по условию. Аналогично  и . Значит , потому что они прямоугольные (DO – высота), углы при основании пирамиды равны и катет DO – общий.

Из равенства треугольников вытекает равенство катетов , то есть точка O равноудалена от сторон треугольника, а значит является центром вписанной окружности.

Рассмотрим : его площадь равна  и равна , где r – радиус вписанной окружности, а p – полупериметр. Найдем r:

 см.

 см, так как  – прямоугольный и «египетский» (стороны равны 3 см, 4 см, 5 см).

 см.

Так как острые углы в треугольнике  равны , то  см.

Ответ: высота пирамиды 1,5 см.

Выводы

Были рассмотрены две задачи на пирамиды, в которых высота проектируется в центр описанной или вписанной окружности.

 

Список литературы по теме "Вниманная, описанная окружность", "Основание пирамиды"

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Yaklass.ru (Источник).
2. Festival.1september.ru (Источник).
3. Uznateshe.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. При каком основании пирамиды возможен случай проекции высоты пирамиды в основание окружности вписанной, но не в основание вписанной?
2. Что нужно для доказательства того, что высота пирамиды проектируется в центр вписанной окружности?
3. Найдите диагональ прямоугольника в основании пирамиды с боковыми ребрами равными 8 см, и высотой 4 см.
4. Найдите сторону ромба, лежащего в основании пирамиды, если ее высота равна 6 см, а все ребра грани с плоскостью основания углы ?
5. Какой угол между высотой и ребром пирамиды, если все боковые ребра равны радиусу описанной около основания окружности?