Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда в более сложных случаях

Опорные задачи для построения сечений

Более сложными будем называть сечения, для построения которых даны точки, лежащие не только на ребрах, но и внутри граней или самой фигуры.

Решим две стандартные задачи на построение сечений для последующего их использования в качестве опорных.

Есть плоскость α и прямая AB, которая пересекает плоскость α. Построить точку пересечения прямой AB и плоскости  (след AB на плоскости ).

1. Первый вариант решения – это когда есть удобная точка S. В этом случае следует провести прямые SB и SA до пересечения с плоскостью  в точках  и . Затем провести прямые AB и , и получим точку пересечения E (рис. 1).

Рис. 1

2. Если точки S нет, то проведем перпендикуляры  и  на плоскость . Затем проведем прямые AB и  и получим точку пересечения E (рис. 2).

Рис. 2

Задачи на способы построения сечений

Задача №1:

Дан тетраэдр ABCD и три точки: P, лежащая на ребре DC; M, лежащая на ребре AB; точка N – внутренняя точка грани ABD. Построить сечение плоскостью () данного тетраэдра (рис. 3).

Рис. 3

Решение

Используя первую опорную задачу, найдем пересечение прямой PN и плоскости (ABC) (след прямой PN на плоскость основания). Будем использовать вспомогательную плоскость PND. Проведем прямую DN и на пересечении с AB получим точку . Проведем прямую  и прямую PN и получим точку их пересечения E. Эта точка существует, так как обе прямые лежат в одной плоскости, и мы рассматриваем случай, когда прямые не параллельны. Проведем прямую EM и получим точку Q в месте ее пересечения с ребром AC. Линия MQ будет линией пересечения. Провести прямую MN и получить точку  в месте ее пересечения с ребром BD. Линия  будет линией пересечения. Проведем последнюю линию пересечения PQ.

Можно было обойтись и без опорной задачи:

Проведем прямую NM до пересечения с прямой AD – точки , и до пересечения с прямой BD – точки . Точку  соединим с точкой P и таким образом найдем точку пересечения Q. Соединив попарно точки , , PQ, QM, мы получим все линии пересечения.

Ответ: в сечении лежит четырехугольник . 

Задача №2:

Дан параллелепипед, заданы точки А и C, лежащие на ребрах, и точка B – внутренняя точка нижней грани. Построить сечение параллелепипеда плоскостью () (рис. 4).

Рис. 4

Решение

Используем вторую опорную задачу. Через точку C проведем прямую, параллельную боковому ребру параллелепипеда. Она пересечется с плоскостью нижнего основания в точке , которая лежит на ребре. Проведем прямые  и CA и получим точку их пересечения – точку E (след прямой AC на плоскость нижней грани). Точки B и E лежат и в плоскости , и в плоскости нижнего основания. Проведем через эти точки прямую BE и получим точки пересечения с ребрами нижнего основания – точки  и . Соединив точки A си  с , получим две линии пересечения:  и . Используя свойство параллелепипеда о параллельности противоположных граней и учитывая факт того, что, при пересечении двух параллельных плоскостей третьей, линии пересечения будут параллельны, проведем линию , параллельную . Аналогично проведем прямую  параллельно . Соединим точки A с  и  с  и получим линии пересечения  и .

Ответ: получено сечение . 

Задача №3:

Дан тетраэдр ABCD, точка P, лежащая на ребре DC и точки M и N, являющиеся внутренними точками граней ABC и ABD соответственно. Построить сечение данного тетраэдра плоскостью () (рис. 5).

Рис. 5

Решение

Рассмотрим плоскость DNP и получим точку пересечения этой плоскости с ребром AB – точку . Проведем прямые  и PN. Найдем точку их пересечения E. Проводим прямую EM и получаем точки ее пересечения с ребрами AB и AC – точки  и Q соответственно. Проводим линию  и получаем точку ее пересечения с ребром BD – точку . Соединяем точки P с Q и  с P. Получим последние линии пересечения PQ и .

Ответ: в сечении получен четырехугольник .

Выводы:

Были рассмотрены опорные задачи и конкретные задачи на построение сечений в тетраэдре и параллелепипеде в более сложных случаях.

 

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Yaklass.ru (Источник).
2. Festival.1september.ru (Источник).
3. Slideshare.net (Источник).

 

Домашнее задание

1. Чем отличаются более сложные сечения от простых?
2. Обязательно ли использовать опорные задачи при построении сечений?
3. Что нужно искать для выяснения метода построения следа на плоскости?
4. На ребрах параллелепипеда ABCDD₁A₁B₁C₁ даны три точки: M на ребре AB, N на ребре CD, K на грани A₁B₁C₁D₁. Построить сечение параллелепипеда плоскостью (MNK).