Призма

 

Тема: Понятие многогранника

Урок: Призма

Построение призмы

Многогранник, называемый призмой, можно построить следующим образом. Рассмотрим параллельные плоскости α и β (рис. 1), то есть такие плоскости, которые не имеют общих точек (не пересекаются).

Рис. 1

В плоскости α возьмем какой-нибудь многоугольник А₁А₂А₃…А_n (рис. 2). Многоугольник может иметь произвольное количество сторон. В данном случае у нас нарисован пятиугольник. В плоскости β возьмем многоугольник В₁В₂В₃…В_n, который равен многоугольнику А₁А₂А₃…А_n, причем так, чтобы равные стороны А₁А₂ и В₁В₂, А₂А₃ и В₂В₃ …  А_nА₁ и В_nВ₁ этих многоугольников были попарно параллельны.

Рис. 2

Определение призмы, основные элементы призмы

Напоминание. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Например, есть какая-то плоскость, в которой лежат прямые А_nА₁ и В_nВ₁ и эти прямые в этой плоскости параллельные, то есть не пересекаются (рис. 3).

Рис. 3

Проведем теперь отрезки А₁В₁, А₂В₂, А₃В₃, … , А_nВ_n (рис. 4). В результате мы получим n параллелограммов А₁А₂В₂В₁, А₂А₃В₃В₂, … , А_nА₁В₁В_n. Это действительно параллелограммы. Возьмем, например, четырехугольник А₁А₂В₂В₁. Стороны А₁А₂ и В₁В₂ равны и параллельны. Значит, четырехугольник А₁А₂В₂В₁ является параллелограммом.

Рис. 4

Таким образом, n-угольной призмой называется многогранник А₁А₂А₃…А_nВ₁В₂В₃…В_n, состоящий из двух равных n-угольников А₁А₂А₃…А_n и В₁В₂В₃…В_n и параллелограммов А₁А₂В₂В₁, А₂А₃В₃В₂, … , А_nА₁В₁В_n.

Многоугольники А₁А₂А₃…А_n и В₁В₂В₃…В_n называются основаниями призмы (рис. 5).

Параллелограммы А₁А₂В₂В₁, А₂А₃В₃В₂, … , А_nА₁В₁В_n называются боковыми гранями призмы.

Отрезки А₁В₁, А₂В₂, А₃В₃, … , А_nВ_n  называются боковыми ребрами призмы.

Рис. 5

Перпендикулярность прямой и плоскости

Вспомним понятие перпендикулярности прямой и плоскости.

Рассмотрим плоскость α (рис. 6). Прямая а, пересекающая плоскость α в точке Н, называется перпендикулярной плоскости α, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости, проходящей через точку Н.

Рис. 6

Проведем в плоскости α прямую с через точку Н (рис. 7). Если прямая а перпендикулярна прямой с, то прямая а перпендикулярна и всей плоскости α. Причем прямых, в этом случае перпендикулярных прямой а из плоскости α, бесконечно много (рис. 8).

Рис. 7                                                            Рис. 8

Перпендикулярность прямой а и плоскости α обозначается следующим образом: а ⊥ α. Говорят, прямая а перпендикулярна плоскости α.

Прямая и наклонная призма

Если все ребра призмы перпендикулярны плоскости ее основания, то призма называется прямой. Пример прямой пятиугольной призмы (рис. 9), то есть такой призмы, у которой все боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.

Рис. 9

Если ребра не перпендикулярны плоскости основания призмы, то призма называется наклонной. Пример наклонной четырехугольной призмы (рис. 10).

Рис. 10

Правильная призма

Прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной. Пример правильной шестиугольной призмы (рис. 11). То есть это прямая призма, у которой в основании лежат правильные шестиугольники.

Рис. 11

Высота призмы

Выберем точку А одного из оснований призмы. Проведем через нее прямую, перпендикулярную плоскости другого основания и пересекающую ее в точке В. Полученный отрезок АВ называется высотой призмы (рис. 12).

В курсе стереометрии 10-11 классов доказывается, что все высоты призмы равны и параллельны друг другу. То есть высот в призме можно провести бесконечно много. Все зависит от того, где мы выберем точку А.

Рис. 12

 

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

 

Домашнее задание

1. Какое наименьшее число ребер может иметь призма?
2. Сколько ребер у шестиугольной призмы?
3. Какое наименьшее число граней может иметь призма?
4. Найдите расстояние между вершинами D и B₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, если A₁D₁ = 6 см, A₁B₁ = 8 см, DD₁ = 10 см.
5. Площадь поверхности куба 24 см². Найдите площадь диагонального сечения.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Profmeter.com.ua (Источник).
2. Я Класс (Источник).
3. Интернет-портал Bymath.net (Источник).