Сравнение длин. Задачи на плоскости

Определение прямой, перпендикулярной плоскости

Часто в плоскости сечения надо найти месторасположение точек, которые определяют сечение. Определение месторасположения точек – умение сравнивать длины. Для этого важного класса задач, для задач сравнения длин есть метод «параллельных прямых» или «теорема Менелая – Чевы». Рассмотрим метод «параллельных прямых». Опорным фактом для данного метода является «обобщенная теорема Фалеса».

Если мы имеем две пересекающиеся прямые  и  и они рассекаются параллельными прямыми, то соответствующие отрезки пропорциональны (рис. 1).

Рис. 1. Пропорциональные отрезки

Теорема Фалеса

Теорема: Параллельные прямые рассекают стороны угла на пропорциональные части.

Обозначим длины отрезков , ,  и т.д. , ,  и т. д.

относится к  так же, как  к  и т. д., как и любые их комбинации – это и будет «обобщённой теоремой Фалеса» (рис. 2).

Рис. 2. Обобщенная теорема Фалеса

Определим, откуда взялось отношение на примере первых двух отрезков. Известно, что ввиду параллельности прямых первый треугольник подобен второму. Значит, коэффициент подобия таков: большая сторона к меньшей стороне (сходственные стороны).

Другая пара сходственных сторон: это сторона второго треугольника к первому

Из подобия треугольников:

Получаем:

И наконец:

У пропорции можно поменять крайние члены, в результате получится:

Это наш основной опорный факт – «теорема Фалеса».

Данная теорема помогает в решении задач, а именно: если нам известны пропорции и отношение на одной стороне угла, то можно их перенести на вторую сторону угла, надо только удачно провести соответствующую параллельную прямую.

Решение типовой задачи

Задача 1

Дан произвольный треугольник ABC. Дано отношение: . Точка M рассекает отрезок BC в отношении . В этом произвольном треугольнике дано месторасположение отрезка AM. А на отрезке AM взята точка P. Месторасположение точки P дано, а именно: . То есть, в этом произвольном треугольнике положение точки P фиксированно. Значит, будет фиксированно и положение отрезка BB₁ – найти . BB₁ рассекает плоскость треугольника на две площади. Надо найти отношение этих двух площадей:  (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к задаче 1

Решение

Введем переменные для облегчения счета:

Рассечем искомый отрезок параллельными прямыми (одна прямая уже есть, это прямая ВВ₁). Вторая прямая – МN, которая будет параллельна ВВ₁ ().

Рассмотрим стороны углов, которые рассекаются параллельными прямыми, и перенесем по теореме Фалеса известные отношения с одной стороны угла на другую. Стороны угла С рассекаются параллельными прямыми на пропорциональные части: длина отрезка , значит, длина отрезка .

Стороны угла МАС тоже рассекаются параллельными прямыми на пропорциональные части. Не забываем связь , мы констатируем существование многих чисел, но если между ними есть связь, то её нельзя упустить.

Следующее действие: нам требуется найти , но между ними явная связь:

Отсюда получаем:

Ответ на первую задачу:  – мы нашли, в каком отношении прямая BB₁ рассекает сторону АС.

Треугольники имеют основания, которые лежат на одной и той же прямой, поэтому рассмотрим высоту к ним, опущенную из точки В, и назовём её для краткости  (рис. 4).

Рис. 4. Высота  

, так как треугольники имеют основания, которые лежат на одной и той же прямой и одинаковые высоты. Отсюда:

Ответ: ;

Решение задачи по доказательству свойств медиан

Задача 2

Треугольник АВС и медиана . Дано: , то есть, если , значит, отрезок  является медианой для данного произвольного треугольника. Медиана  рассекается другой медианой . Точка  тоже задана своим отношением: . Необходимо найти, в каком отношении первая медиана рассекается второй медианой, то есть отношение  (рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 1

Решение

Искомый отрезок – это медиана , её надо рассечь параллельными прямыми. Одной прямой она уже рассечена, следовательно, надо провести прямую  параллельно прямой .

Далее следует рассмотрение углов с известными пропорциями и перенесение их на другие стороны угла.Так как есть медиана, обозначим стандартно всю сторону ВС за , тогда (рис. 6):

Рис. 6. Обозначим стандартно всю сторону ВС за

Мы рассмотрели стороны первого угла и нашли соответствующие отношения. Должно сработать и второе отношение, рассмотрим стороны другого угла и выясним:

Отсюда следует, что отрезок ВМ в два раза больше отрезка .

Мы получили известный факт: точка пересечения медиан рассекает каждую из них в отношении 2 к 1, считая от вершины. Если вся медиана  обозначена за , то , .

Ответ: .

Выводы.

Был рассмотрен метод параллельных прямых для сравнения длин на плоскости сечения. Метод заключается в том, чтобы рассечь искомый отрезок параллельными прямыми и воспользоваться «теоремой Фалеса».

 

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Yaklass.ru (Источник).
2. Festival.1september.ru (Источник).
3. Nashashcola.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Когда применяется теорема Фалеса?
2. Возможно ли использовать теорему Фалеса в параллелограмме, ведь его стороны параллельны?
3. Имеют ли что-то общее «метод параллельных прямых» и «теорема Фалеса»?
4. Если угол рассекают параллельные плоскости, то можно ли говорить о подобии треугольников образованных этими прямыми и сторонами угла?
5. Если, используя теорему Фалеса, мы получили отношение отрезков между двумя параллельными прямыми, равное единице, то что можно сказать об углах при одной из параллельных прямых?