Задача 2

Треугольник АВС и медиана . Дано: , то есть, если , значит, отрезок является медианой для данного произвольного треугольника. Медиана рассекается другой медианой . Точка тоже задана своим отношением: . Необходимо найти, в каком отношении первая медиана рассекается второй медианой, то есть отношение (рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 1

Решение

Искомый отрезок – это медиана , её надо рассечь параллельными прямыми. Одной прямой она уже рассечена, следовательно, надо провести прямую параллельно прямой .

Далее следует рассмотрение углов с известными пропорциями и перенесение их на другие стороны угла.Так как есть медиана, обозначим стандартно всю сторону ВС за , тогда (рис. 6):

Рис. 6. Обозначим стандартно всю сторону ВС за

Мы рассмотрели стороны первого угла и нашли соответствующие отношения. Должно сработать и второе отношение, рассмотрим стороны другого угла и выясним:

Отсюда следует, что отрезок ВМ в два раза больше отрезка .

Мы получили известный факт: точка пересечения медиан рассекает каждую из них в отношении 2 к 1, считая от вершины. Если вся медиана обозначена за , то , .

Ответ: .

Выводы.

Был рассмотрен метод параллельных прямых для сравнения длин на плоскости сечения. Метод заключается в том, чтобы рассечь искомый отрезок параллельными прямыми и воспользоваться «теоремой Фалеса».

Список литературы

И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Yaklass.ru (Источник).
Festival.1september.ru (Источник).
Nashashcola.ru (Источник).

Домашнее задание

Когда применяется теорема Фалеса?
Возможно ли использовать теорему Фалеса в параллелограмме, ведь его стороны параллельны?
Имеют ли что-то общее «метод параллельных прямых» и «теорема Фалеса»?
Если угол рассекают параллельные плоскости, то можно ли говорить о подобии треугольников образованных этими прямыми и сторонами угла?
Если, используя теорему Фалеса, мы получили отношение отрезков между двумя параллельными прямыми, равное единице, то что можно сказать об углах при одной из параллельных прямых?