Сравнение длин. Задачи в пространстве

Задачи на сравнение длин отрезков

Задача 1

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD с вершиной P на ребрах PA и PC взяты точки K и M соответственно, причем  и . Найти отношение, в котором делится ребро PB, плоскостью, проведенной через точки D, M, K (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация задачи 1

Решение

Найдем точку E, как точку пересечения прямой MK и высоты PO.

Так как точки E и D лежат и в плоскости диагонального сечения (PBD), и в плоскости сечения (DMK), то проведем прямую DE до пересечения с ребром PB и получим точку F.

Рассмотрим треугольник APC более детально (рис. 2):

Рис. 2. Треугольник АРС

Проведем из точки A прямую AA₁, а из точки O прямую OO₁, параллельные MK.

Угол  рассекается параллельными прямыми, значит, если  (это следует из того, что пирамида правильная), то и .

Угол  рассекается параллельными прямыми, значит, если , то и .

Так как точка M – середина CP, то , значит .

Угол  рассекается параллельными прямыми, значит, .

Рассмотрим треугольник BPD более детально (рис. 3):

Рис. 3. Треугольник BPD

Проведем из точки O прямую OL, параллельную DF.

Угол  рассекается параллельными прямыми, значит, если  (это следует из того, что пирамида правильная), то и .

Угол  рассекается параллельными прямыми, значит, если , то и .

Из найденных равенств следует, что . Отсюда следует, что .

Ответ: .

Выводы

Была рассмотрена сложная задача по определению отношения, в котором ребро пирамиды рассекается плоскостью.

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Yaklass.ru (Источник).
2. Festival.1september.ru (Источник).
3. Myshared.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Можно ли применить теорему Фалеса в пространстве?
2. Имеет ли смысл рассекать угол непараллельными прямыми для нахождения отношения отрезков, полученных при данном рассечении?
3. Возможно ли использовать теорему Фалеса в параллелограмме, ведь его стороны параллельны?
4. Если угол рассекают параллельные плоскости, то можно ли говорить о подобии треугольников образованных этими прямыми и сторонами угла?
5. Если, используя теорему Фалеса, мы получили отношение отрезков между двумя параллельными прямыми равное единице, то равны ли попарно углы при каждой из параллельных прямых?