Введение
Тема: Итоговое повторение курса геометрии 10-го класса
Урок: Тетраэдр. Задачи на построение сечений
Сечения многогранников, определение тетраэдра
При рассечении любого многогранника плоскостями образуются многоугольники.
Существует два понимания многоугольника:
Определение: многоугольник – замкнутая линия без самопересечения, составленная из отрезков (рис. 1).
Рис. 1
Определение: многоугольник – часть плоскости, которая ограничена этой линией, включая ее саму (рис. 2).
Рис. 2
Для построения сечений используется второе понимание многоугольника – как часть плоскости, которая пересекает многогранник – секущей плоскости.
Определение: секущая плоскость – такая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки многогранника.
Определение: тетраэдром называется многогранник, гранями которого являются четыре треугольника. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер (рис. 3).
Рис. 3
Опорные факты для построения сечений
Вспомним два опорных факта, с помощью которых производится построение любых сечений.
1. Если через прямую a, параллельную плоскости 
( 
), провести плоскость 
, пересекающую плоскость по прямой b, то прямые a и b параллельны ( 
) (рис. 4).
Рис. 4
2. Если две параллельные плоскости и ( 
), пересекаются третей плоскостью 
, то прямые пересечения a и b – параллельны ( 
) (рис. 5).
Рис. 5
Стандартные задачи на способы построения сечений
Задача 1:
Дан тетраэдр ABCD, точка P, лежащая на ребре DC, точка N на ребре DB, точка M на ребре AB. Точки M, N, P не лежат на одной прямой, и прямая PN не параллельна BC. Построить сечение плоскостью (PNM) тетраэдра ABCD (рис. 6).
Рис. 6
Решение
Точки M и N лежат одновременно в двух плоскостях: (ABD) и (PNM), поэтому прямая MN является линией пересечения этих двух плоскостей.
Аналогично: точки P и N лежат в плоскостях (BCD) и (PNM) и прямая PN – это тоже линия пересечения.
Продолжим прямую PN до точки пересечения с прямой BC (у них есть точка пересечения, ведь из условия следует, что они не параллельны). Получим точку пересечения E. Т. к. она лежит на прямой BC, то она принадлежит плоскостям (ABC) и (BCD), а т. к. она лежит на прямой PN, то и секущей плоскости (PNM).
Точки M и E лежат в плоскости (ABC), значит, мы можем провести прямую EM. Она пересечется с прямой AC в точке Q. Прямая MQ будет третьей линией пересечения тетраэдра и секущей плоскости. Такой вывод можно сделать, исходя из того, что прямая EM – это прямая пересечения секущей плоскости и плоскости (ABC), а точка Q принадлежит этой прямой и прямой AC.
Точки Q и P лежат в плоскости (ACD), поэтому мы можем провести через них прямую PQ, которая будет последней линией искомого сечения.
Ответ: найдено сечение PNMQ, получаемое при сечении плоскостью (PNM) тетраэдра ABCD. Найденное сечение представляет собой четырехугольник.
Задача 2:
Дан тетраэдр ABCD, точка P, лежащая на ребре DC, точка N на ребре DB, точка M на ребре AB. Точки M, N, P не лежат на одной прямой, и прямая PN параллельна BC. Построить сечение плоскостью (PNM) тетраэдра ABCD (рис. 7).
Рис. 7
Решение
Точки P и N лежат в плоскостях (BCD) и секущей (PNM), поэтому прямая PN является линией пересечения этих плоскостей.
Параллельно прямой PN проводим прямую MQ – это будет линия пересечения плоскостей (ABC) и (PNM). Этот вывод был сделан на основании первого опорного факта: если через прямую PN, параллельную плоскости (ABC) (их параллельность следует из условия параллельности BC и PN), провести плоскость (PNM), пересекающую (ABC), то прямая пересечения будет параллельна PN. Точка M, принадлежащая и плоскости (ABC) и плоскости (PNM), обязана лежать на линии их пересечения, а эту линию легко построить, если учесть, что по условию PN параллельна BC, а, следовательно, и MQ должна быть параллельна BC.
Аналогично первому пункту: прямые MN и PQ – линии пересечения секущей плоскости и тетраэдра.
Ответ: в сечении лежит трапеция PNMQ (прямая PN параллельна MQ).
Задача 3:
Дан тетраэдр ABCD, точка M на грани ABD. Построить сечение тетраэдра ABCD плоскостью, параллельной плоскости основания ABC и проходящей через точку M (рис. 8).
Рис. 8
Решение
Проведем через точку M прямую A1B1, параллельную AB.
Проведем через точку A1 прямую A1C1, параллельную AC.
Соединим B1 и C1 и получим прямую B1C1.
Полученное сечение A1B1C1, параллельное плоскости основания (ABC), по признаку параллельности плоскостей: две пересекающиеся прямые (AB и AC) одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым (A1B1 и A1C1) второй плоскости.
Ответ: в сечении лежит треугольник A1B1C1.
Выводы:
Были рассмотрены такие понятия, как тетраэдр, сечение многогранников и многоугольник, изучены основные способы построения сечений на примере тетраэдра.
Список литературы
- И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
- Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
- Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.
Домашнее задание
- Какое наименьшее число углов может иметь многоугольник, образованный секущей плоскостью?
- Сколько ребер может пересекать секущая тетраэдр плоскость?
- Как можно доказать параллельность линии пересечения одному из ребер тетраэдра, если прямые, содержащие их, лежат в одной плоскости?
- Дан тетраэдр ABCD, точка P, лежащая на ребре DB, точка N на ребре AB, точка M на ребре AC. Точки M, N, P не лежат на одной прямой, и прямая MN не параллельна BC. Указать многоугольник, который получится при сечении плоскостью (PNM) тетраэдра ABCD.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
