Векторы

Краткий обзор свойств векторов

Если у нас имеется три некомпланарных вектора (три вектора называются некомпланарными если они не лежат и не параллельны одной плоскости) (базис) то любой четвертый вектор (в данном случае вектор ) однозначно разлагается по этой тройке некомпланарных векторов  = x + y + z (x, y, z – единственная тройка чисел, через которую выражается вектор d) (рис. 1).

Рис. 1. Разложение вектора

Сложение и умножение векторов

Умножение вектора на число

Определение. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными. Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены.

Обозначения: коллинеарность векторов записывают привычным значком параллельности: , при этом возможна детализация:  (векторы сонаправлены) или  (векторы направлены противоположно).

Произведением ненулевого вектора  на число λ является такой вектор , длина которого равна , причём векторы  и  сонаправлены при λ ≥ 0 и противоположно направлены при λ < 0 (рис. 2).

Рис. 2. Направление векторов

Так, длина вектора в два раза меньше длины вектора .

Сложение векторов

Операция сложения векторов подчиняется правилу треугольника (рис. 3)

Рис. 3. Правило треугольника

либо правилу параллелограмма (рис. 4).

Рис. 4. Правило параллелограмма

Достроив два вектора, получим параллелограмм, диагональ параллелограмма и является суммой этих двух векторов.

Задача на применение свойств векторов

Задача 1

Дан произвольный параллелепипед . На диагонали  параллелепипеда взята точка M, а на прямой  точка N, так что отрезки MN и BD параллельны. Найти отношение длин этих отрезков (рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 1

Решение

Введем 3 некомпланарных вектора ( = , =, = ) (рис. 6).

Рис. 6. Некомпланарные векторы

Выразим нужные нам векторы, но сначала выразим те, которые нужны, но без упоминания точек M и N.

Для начала возьмем вектор =-++

=-

= +

Найдем вектор =

(Ввиду коллинеарности найдется такое число , что )

Аналогично ==(=-), а у нас , другое направление ().

=.

Итого .

Упростив, получим .

Наш вектор  разложился на 3 некомпланарных вектора, нам неизвестно и , надо подобрать эти коэффициенты так, чтобы MN || BD. Получается, что =  = . Значит, = .

Из векторного равенства следует система из трех уравнений (приравняем коэф. при  получим неизвестные ).

Выпишем систему

 

Выпишем ответы

Итого ==.

Ответ: ==.

Выводы

Были рассмотрены свойства векторов и их применение в сложной задаче.

 

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Yaklass.ru (Источник).
2. Festival.1september.ru (Источник).
3. Math10.com (Источник).

 

Домашнее задание

1. Пусть дан вектор а. Как получить единичный вектор (длины 1) того же направления, что и а?
2. Любые ли векторы можно складывать и умножать?
3. Как найти координаты вектора, зная координаты начала и конца вектора?
4. Какими свойствами должны обладать три вектора, чтобы их можно было назвать базисом? Декартовым базисом?
5. Пусть в пространстве зафиксирован базис. Сколько свободных геометрических векторов соответствует тройке чисел (x, y, z)?