14. Векторы

Краткий обзор свойств векторов

Если у нас имеется три некомпланарных вектора (три вектора называются некомпланарными если они не лежат и не параллельны одной плоскости) (базис) то любой четвертый вектор (в данном случае вектор ) однозначно разлагается по этой тройке некомпланарных векторов  (, , – единственная тройка чисел, через которую выражается вектор d) (рис. 1).

Сложение и умножение векторов

Умножение вектора на число

Определение. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными. Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены.

Обозначения: коллинеарность векторов записывают привычным значком параллельности: , при этом возможна детализация:  (векторы сонаправлены) или  (векторы направлены противоположно).

Произведением ненулевого вектора  на число является такой вектор , длина которого равна , причём векторы  и  сонаправлены при и противоположно направлены при (рис. 2).

Так, длина вектора в два раза меньше длины вектора .

Сложение векторов

Операция сложения векторов подчиняется правилу треугольника (рис. 3)

Либо правилу параллелограмма (рис. 4).

Достроив два вектора, получим параллелограмм, диагональ параллелограмма и является суммой этих двух векторов.

Задача на применение свойств векторов

Задача 1

Дан произвольный параллелепипед . На диагонали  параллелепипеда взята точка , а на прямой  точка , так что отрезки и параллельны. Найти отношение длин этих отрезков (рис. 5).

Решение

Введем 3 некомпланарных вектора (, , ) (рис. 6).

Выразим нужные нам векторы, но сначала выразим те, которые нужны, но без упоминания точек и .

Для начала возьмем вектор .

Найдем вектор .

(Ввиду коллинеарности найдется такое число , что )

Аналогично , а у нас , другое направление ().

.

Итого .

Упростив, получим .

Наш вектор  разложился на 3 некомпланарных вектора, нам неизвестно и , надо подобрать эти коэффициенты так, чтобы . Получается, что . Значит, .

Из векторного равенства следует система из трех уравнений (приравняем коэф. при , ,  получим неизвестные , , ).

Выпишем систему

Выпишем ответы

Итого .

Ответ: .

Выводы

Были рассмотрены свойства векторов и их применение в сложной задаче.

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «math10.com» (Источник).

Домашнее задание

1. Пусть дан вектор а. Как получить единичный вектор (длины 1) того же направления, что и а?

2. Любые ли векторы можно складывать и умножать?

3. Как найти координаты вектора, зная координаты начала и конца вектора?

4. Какими свойствами должны обладать три вектора, чтобы их можно было назвать базисом? Декартовым базисом?

5. Пусть в пространстве зафиксирован базис. Сколько свободных геометрических векторов соответствует тройке чисел (, , )?