Задача 1

Дан произвольный параллелепипед . На диагонали параллелепипеда взята точка M, а на прямой точка N, так что отрезки MN и BD параллельны. Найти отношение длин этих отрезков (рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 1

Решение

Введем 3 некомпланарных вектора ( = , =, = ) (рис. 6).

Рис. 6. Некомпланарные векторы

Выразим нужные нам векторы, но сначала выразим те, которые нужны, но без упоминания точек M и N.

Для начала возьмем вектор =-++

=-

= +

Найдем вектор =

(Ввиду коллинеарности найдется такое число , что )

Аналогично ==(=-), а у нас , другое направление ().

=.

Итого .

Упростив, получим .

Наш вектор разложился на 3 некомпланарных вектора, нам неизвестно и , надо подобрать эти коэффициенты так, чтобы MN || BD. Получается, что = = . Значит, = .

Из векторного равенства следует система из трех уравнений (приравняем коэф. при получим неизвестные ).

Выпишем систему

Выпишем ответы

Итого ==.

Ответ: ==.

Выводы

Были рассмотрены свойства векторов и их применение в сложной задаче.

Список литературы

И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Yaklass.ru (Источник).
Festival.1september.ru (Источник).
Math10.com (Источник).

Домашнее задание

Пусть дан вектор а. Как получить единичный вектор (длины 1) того же направления, что и а?
Любые ли векторы можно складывать и умножать?
Как найти координаты вектора, зная координаты начала и конца вектора?
Какими свойствами должны обладать три вектора, чтобы их можно было назвать базисом? Декартовым базисом?
Пусть в пространстве зафиксирован базис. Сколько свободных геометрических векторов соответствует тройке чисел (x, y, z)?