Повторение теории. Решение более сложных задач на параллельность прямой и плоскости

Определение параллельных прямых

Определение: две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (рис. 1).

Рис. 1. Параллельные прямые

               

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Пояснение к лемме

Даны две параллельные прямые а и b. Прямая а пересекает плоскость  в точке М. Лемма утверждает, что прямая b тоже пересекает плоскость  в некоторой точке, назовем ее N (рис. 2).

 

Рис. 2. Иллюстрация к лемме

Определение параллельности прямой и плоскости

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости

Теорема (признак параллельности прямой и плоскости)

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Пояснение к признаку.

Дана плоскость , прямая b лежит в плоскости α, прямая а параллельна прямой b, прямая а не лежит в плоскости  (рис. 3). Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, прямая а параллельна всей плоскости α. Мощь этого признака в том, что только из того, что прямая а не имеет общих точек с прямой b (небольшой частью всей плоскости), следует, что прямая а не имеет общих точек со всей плоскостью.

Рис. 3. Иллюстрация к признаку

Следующее утверждение часто используется для решения задач.

Утверждение 1

Утверждение 1

Если плоскость  проходит через данную прямую а, параллельную другой плоскости (а || ), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой: a || b.

Пояснение утверждения

Дана плоскость  и прямая а, которая параллельна плоскости  (рис. 4). Через прямую а проходит плоскость , которая пересекает плоскость  по некоторой прямой b . Согласно утверждению, линия пересечения плоскостей  и  – прямая b будет параллельна прямой а.

Рис. 4. Иллюстрация к утверждению

Задача 1

Треугольники ABC и ABD не лежат в одной плоскости. Докажите, что любая прямая, параллельная отрезку СD, пересекает плоскости данных треугольников.

Доказательство

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Нам дано, что точка D не лежит в плоскости АВС, а точка С не лежит в плоскости АВD. Нужно доказать, что любая прямая, назовем ее m, параллельная прямой СD, пересечет плоскости АВС и АВD.

Вспомним лемму, если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Прямая СD пересекает плоскость АВС в точке С. Значит, и параллельная ей прямая m пересечет эту плоскость в некоторой точке N (по лемме): .

Прямая СD пересекает плоскость ABD в точке D. Значит, и параллельная ей прямая m пересечет эту плоскость в некоторой точке M (по лемме):.

Задача 2

Точки А и В лежат в плоскости , а точка С не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АС и ВС, параллельна плоскости .

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Доказательство

Пусть M – середина АС, N- середина ВС.

Точка М не лежит в плоскости , так как если бы она в ней лежала, то и прямая АМ, а значит и точка С, лежала бы в плоскости , что противоречит условию. Аналогично, точка N не лежит в плоскости

Рассмотрим треугольник АВС. MN – средняя линия в этом треугольнике. По свойству, MN параллельна АВ. Прямая MN параллельна прямой АВ, а прямая АВ лежит в плоскости . Значит, прямая АВ параллельна плоскости, что и требовалось доказать.

Задача 3

Плоскость  параллельна стороне ВС треугольника АВС и проходит через середину стороны АВ. Докажите, что плоскость проходит через середину стороны АС.

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Доказательство

Нам даны две плоскости АВС и . Они не совпадают, имеют общую точку M, а значит, имеют линию пересечения MN. Докажем, что N – середина АС.

Плоскость АВС проходит через прямую ВС, которая по условию параллельна плоскости . Значит, ВС параллельна линии пересечения плоскостей MN.

Параллельные прямые MN и АС рассекают стороны угла А на пропорциональные части, то есть АМ : МВ = АN : NС = 1. Значит, N – середина стороны АС, что и требовалось доказать.

Итоги урока

Итак, мы повторили теорию и рассмотрели решение более сложных задач по теме: «Параллельность прямой и плоскости». На следующем уроке мы рассмотрим взаимное расположение прямых в пространстве.

 

Список литературы

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.
2.  Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Ege-study.ru (Источник).
2. Festival.1september.ru (Источник).
3. Yaklass.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Дана трапеция ABCD, АВ и СD – основания трапеции. Через сторону АВ проведена плоскость , причем сторона СD не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая СD параллельна плоскости .
2. Через середину стороны АВ параллелограмма ABCD проведена плоскость , параллельная стороне ВС. Докажите, что эта плоскость проходит через середину стороны СD.
3. Дана трапеция ABCD, АВ и СD – основания трапеции. Средняя линия трапеции пересекается с плоскостью . Докажите, что прямые АВ и СD также пересекаются с плоскостью .
4. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.
5. Задания 11, 12 стр. 26