Докажите, что в сечении тетраэдра АВСD плоскостью параллельной противолежащим ребрам АВ и СD, лежит параллелограмм.

Доказательство:

Прямая АВ лежит в плоскости АВС. Прямая DС пересекает эту плоскость в точке С, которая не лежит на прямой АВ. Прямые АВ и СD скрещиваются по признаку скрещивающихся прямых.

Скрещивающимся прямым AB и CDсоответствует пара параллельных плоскостей 𝛼 и (рис. 9).

Рис. 9.

Пусть точка N принадлежит прямой АС и плоскость – это секущая плоскость.

Через скрещивающиеся прямые AB и CDи точку N проведем тройку параллельных плоскостей .

Тогда параллельные плоскости и рассекают плоскость ADC по параллельным прямым. Значит, КN ∥ DС. Параллельные плоскости и также рассекают плоскость CBD по параллельным прямым. Значит, LM ∥ DС.

Делаем вывод: КN ∥ LM, потому что каждая из них параллельна DС.

Аналогично доказываем, что МN ∥ АВ; КL ∥ АВ, а значит, МN ∥ КL.

В сечении имеем четырехугольник MNKL, противоположные стороны которого попарно параллельны. Значит, в четырехугольник MNKL - параллелограмм.

Заметим, что угол между прямыми LM и LК равен углу между скрещивающимися прямыми АВ и DС.