Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Доказательство.

Пусть прямая а перепендикулярна плоскости и прямая b перепендикулярна плоскости. Докажем, что прямая а параллельна прямой b.

Рисунок 7.

Предположим, что прямая b не параллельна прямой а. Через точку М прямой b проведем прямую , параллельно прямой а (рис. 8).

Прямые и а параллельны, прямая а перпендикулярна плоскости . По теореме, прямая также перпендикулярна плоскости .

Прямые b и пересекаются, а значит через них проходит некоторая плоскость. Пусть эта плоскость пересекает плоскость по прямой с. Тогда прямая перпендикулярна прямой с, так как прямая с лежит в плоскости , а прямая ей перпендикулярна.

Но тогда в плоскости, определенной пересекающимися прямыми b и через точку М проходят два перпендикуляра b и к прямой с. Получаем противоречие. Значит, прямая b параллельна прямой а, что и требовалось доказать.

Рис. 8.