Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей
Урок: Простейшие задачи на применение теоремы о трех перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью
Тема урока
Данный урок посвящен теме «Простейшие задачи на применение теоремы о трех перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью».
Напоминание
Рассмотрим плоскость α, параллельные прямые а и 
лежат в плоскости α (рис. 1). Точка А лежит вне плоскости α. Проведем прямую АН перпендикулярно плоскости α, 
.
Н – основание перпендикуляра;
АН = ρ(А; α).
Рис. 1
Из точки Н опустим перпендикуляр НМ на прямую . Прямая АН перпендикулярна плоскости α, а значит, и всем прямой , лежащей в ней. Имеем, что прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым АН и НМ плоскости АНМ, значит, по признаку, прямая перпендикулярна плоскости АНМ.Прямая АМ лежит в плоскости АНМ. Значит, прямая перпендикулярна прямой АМ. Этот факт записан в теореме о трех перпендикулярах.
Теорема о трех перпендикулярах
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
Обратная теорема
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
Рассмотрим рисунок 1:
АН – перпендикуляр;
АМ – наклонная;
МН - проекция наклонной АМ на плоскость α;
По теореме о трех перпендикулярах и теореме, обратной к ней:
Угол между прямой и плоскостью
Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Посмотрим на рисунок 1. АН – перпендикуляр, АМ – наклонная, МН - проекция наклонной АМ на плоскость α. Тогда угол между прямой АМ и плоскостью α – это угол между прямой АМ и ее проекцией МН, то есть это угол АМН. 
.
Задача 1
Из точки А, не принадлежащей плоскости α, проведены к этой плоскости перпендикуляр АО и две равные наклонные АВ и АС. Известно, что ∠ОАВ = ∠ВАС = 60°, АО = 1,5 см. Найдите расстояние между основаниями наклонных, угол между прямой АВ и плоскостью α.
Дано: АВ = АС,
∠ОАВ = ∠ВАС = 60°,
АО = 1,5 см.
Найти: ВС, ∠(АВ, α)
Рис. 2
Решение:
Рассмотрим треугольник АВО. Он прямоугольный, так как АО перпендикулярна α. Найдем гипотенузу АВ.
Рассмотрим треугольник АВС. Он равнобедренный, так как АВ = АС. А угол ВАС равен 60°. Значит, треугольник АВС – равносторонний. Получаем, ВС = АВ = 3 см.
Угол между прямой АВ и плоскостью α – это угол между прямой АВ и ее проекцией ВО на плоскость α. То есть, 
.
Ответ: 3 см, 
Задача 2
Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника АВС равно 4 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС, если АВ = 6 см. Чему равен угол между прямой МС и плоскостью АВС?
Дано:
АВ = ВС =СА = 6 см;
МА = МВ = МС = 4 см.
Найти:
ρ (М, АВС);
∠ (МС, АВС).
Рис. 3
Решение:
Пусть МН – перпендикуляр к плоскости АВС. Найдем месторасположение точки Н.
Треугольники МНА, МНВ, МНС равны по гипотенузе и общему катету (МА = МВ = МС, катет МН – общий). Значит, НА = НВ = НС. То есть точка Н равноудалена от вершин треугольника АВС. Значит, Н – центр описанной окружности, а отрезок АН равен радиусу описанной окружности. Найдем радиус описанной окружности из теоремы синусов.
Значит, НА = НВ = НС
см.
Длина перпендикуляра МН и есть расстояние от точки М до плоскости АВС. Рассмотрим прямоугольный треугольник МНС. Найдем МН по теореме Пифагора.
Угол между прямой МС и плоскостью АВС – это угол между прямой МС и ее проекцией НС, то есть угол МСН. Найдем его из треугольника МНС.
Так как угол МНС – острый, то 
Ответ: 2 см, 
.
Задача 3 (свойство)
Прямая р проведенная из центра О описанной около треугольника АВС окружности, есть геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от вершин треугольника.
Дано: 
Доказать:
МА = МВ = МС.
Рис. 4
Доказательство.
Пусть МО – перпендикуляр к плоскости АВС (рис. 4). Прямоугольные треугольники МОА, МОВ, МОС равны по двум катетам (ОА = ОВ = ОС, катет МО – общий). Значит, МА = МВ = МС. То есть точка М равноудалена от вершин треугольника АВС, что и требовалось доказать.
Теперь докажем в обратную сторону.
Дано:
МА = МВ = МС.
Доказать:
Доказательство.
Пусть МО – перпендикуляр к плоскости АВС (рис. 4). Треугольники МОА, МОВ, МОС равны по катету и гипотенузе (МА = МВ = МС, катет МО – общий). Значит, ОА = ОВ = ОС. То есть точка О – центр описанной окружности, ОМ – перпендикуляр р.
Примечание: Из равенства треугольников МОА, МОВ, МОС следует равенство углов∠МОА = ∠МОВ = ∠МОС. То есть прямые МА, МВ, МС образуют с плоскостью АВС равные углы.
Свойство серединного перпендикуляра
Дан отрезок АВ (рис. 5). Точка О – середина отрезка АВ. р – перпендикуляр к прямой АВ, проходящий через точку О. Если точка М лежит на серединном перпендикуляре, то точка М равноудалена от концов отрезка АВ, то есть МА = МВ.
Если точка N равноудалена от концов отрезка АВ, то она лежит на серединном перпендикуляре р.
Рис. 5
Задача 4
Прямая а пересекает плоскость α в точке М и не перпендикулярна к этой плоскости. Докажите, что в плоскости α через точку М проходит прямая, перпендикулярная к прямой а, и притом только одна.
Дано: МА = а – наклонная к α.
Доказать: 1) существует 
2) b – единственная.
Рис. 6
Доказательство:
Проведем прямую АН, перпендикулярно плоскости α. Тогда МН – проекция наклонной АН на плоскость α. Через точку М в плоскости α проведем прямую b, перпендикулярно прямой МН. Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, прямая b перпендикулярна также прямой АМ. Прямая b – искомая. Докажем, что такая прямая единственная.
Предположим, что существует прямая 
, такая что 
. Если прямая перпендикулярна наклонной АМ, то она перпендикулярна и проекции, 
. Тогда через точку М проходит две прямые b и , перпендикулярные прямой МН, что невозможно. Значит, в плоскости α через точку М проходит единственная прямая, перпендикулярная к прямой а, что и требовалось доказать.
Итоги урока
Итак, мы рассмотрели простейшие задачи на теорему о трех перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью. Следующий урок мы также посвятим решению задач на эти темы.
Список рекомендованной литературы
1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.
2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.
Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет
1. Якласс (Источник)
2. Якласс (Источник)
3. Начертательная геометрия (Источник)
Рекомендованное домашнее задание
1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
Задания 16, 17 стр. 63
2. В треугольнике АВС угол между сторонами АВ = 3 см и АС = 6 см равен 60°. В вершине этого угла построен перпендикуляр АМ = 12 см к плоскости треугольника. Найдите расстояния от концов перпендикуляра к середине стороны ВС.
3. В центре О ромба, периметр которого 40 см, а диагонали относятся как 3 : 4, построен перпендикуляр ОМ = 8 см к его плоскости. Найдите расстояния от точки М до вершины ромба.
Через вершину прямого угла проведена прямая, которая образует со сторонами этого угла углы по 60°. Найдите угол, который образует эта прямая с плоскостью прямого угла.
