Понятие вектора, основные связанные понятия
С понятием вектора на плоскости мы уже сталкивались. Мы говорили, что есть такие величины, для которых важно не только численное значение, но и направление, например, сила, скорость и т. д. Такие величины мы называли векторными или просто векторами. В математике вектор изображается в виде направленного отрезка. То есть, если задан отрезок 
и сказано, что точка 
– его начало, а 
– конец, то говорят, что задан вектор 
или вектор 
:
Рис. 1. Вектор 
Определение
Вектором называется направленный отрезок, он имеет направление и величину.
Длина вектора соответствует длине отрезка, задающего этот вектор.
Теперь нужно ввести некоторые понятия, а именно: какие вектора называются равными, ввести операции сложения, вычитания, умножения на число и т. д.
Теперь введем второй вектор 
, обозначим его как вектор 
:
Рис. 2. Коллинеарные векторы и
Если прямые и 
параллельны (или совпадают), то векторы и коллинеарны.
Коллинеарные векторы могут быть противонаправлены: 
(рис. 2) или сонаправлены (
).
Определение
Равными называются коллинеарные сонаправленные векторы, длины (модули) которых равны.
Имеем вектор 
и вектор 
:
Рис. 3. Равные векторы
Заданные векторы равны, т. к. они коллинеарны, сонаправлены и их длины равны: 
Существует также нулевой вектор (
), т. е. вектор нулевой длины, он изображается точкой.
Проводя аналогию с числами: мы знали число 
и противоположное ему число 
, это были такие числа, сумма которых равна нулю:
Аналогичное понятие существует и для векторов (рис. 4).
Рис. 4. Противоположные векторы
Задана точка 
и два вектора: 
и 
. Эти векторы имеют одинаковую длину (
), принадлежат одной прямой – коллинеарны – и противонаправлены. Такие векторы в сумме составляют нулевой вектор:
Кроме того:
С физической точки зрения это можно представить следующим образом: если с равной силой тянуть предмет одновременно в две противоположные стороны, то он никуда не сдвинется.
Перейдем к векторам в пространстве. Рассмотрим задачу.
Векторы в прямоугольном параллелепипеде, решение задачи
Задача 1
Измерения прямоугольного параллелепипеда 
известны:
. найдите длины векторов: 
, 
, , 
, 
, 
Рассмотрим чертеж (рис. 5).
Рис. 5. Прямоугольный параллелепипед
Напомним основные важные факты о прямоугольном параллелепипеде:
1. Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания – параллелепипед прямой (
);
2. Боковые грани прямого параллелепипеда прямоугольники, в основании может лежать параллелограмм;
3. Если в основании прямого параллелепипеда лежит прямоугольник, то такой параллелепипед называется прямоугольным (
– прямоугольник);
4. Прямоугольный параллелепипед полностью задается тремя измерениями: ширина (), длина (
), высота (
).
Итак, найдем длину вектора . Он равен векторам 
и равен высоте параллелепипеда, которая задана по условию: 12 см. 
. Чтобы решить данную задачу, нужно понимать, какие векторы называются равными.
Вектор : отрезок 
имеет такую же длину, как отрезок : 
.
Вектор : отрезок имеет такую же длину, как отрезок : 
.
Вектор : отрезок 
– это диагональ боковой грани 
параллелепипеда. Ее длина соответствует длине гипотенузы прямоугольного треугольника 
с катетами 
и 
. Можем найти длину гипотенузы по теореме Пифагора: 
; 
.
Вектор : отрезок 
– это диагональ основания параллелепипеда. Ее длина соответствует длине гипотенузы прямоугольного треугольника 
с катетами 
и 
. Можем найти длину гипотенузы по теореме Пифагора: 
; 
Вектор : отрезок 
– это диагональ параллелепипеда. Ее длина соответствует квадратному корню из суммы квадратов всех измерений параллелепипеда: 
; 
.
Векторы в тетраэдре, решение задачи
Задача 2
Задан тетраэдр с вершиной 
и основанием 
. Точка 
– середина ребра , точка 
– середина ребра , точка 
– середина ребра 
, точка 
– середина ребра . Обозначены векторы 
, 
, 
, 
, 
и 
. Выпишите все пары равных векторов из обозначенных на рисунке. Определите вид четырехугольника 
.
Рассмотрим чертеж (рис. 6):
Рис. 6. Тетраэдр
Для начала рассмотрим четырехугольник без учета векторов. Отметим, что 
и 
как средняя линия треугольника 
. Аналогично 
и 
как средняя линия треугольника 
. Имеем:
по свойству транзитивности.
Так, в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, нам известен соответствующий признак: если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то такой четырехугольник – параллелограмм. Имеем: – параллелограмм.
Теперь мы можем заключить равенство и параллельность отрезков 
и 
, причем как сторон параллелограмма, так и средних линий для треугольников 
и 
соответственно.
Перейдем к равенству векторов:
и 
, т. к. противоположные стороны параллелограмма принадлежат параллельным прямым (векторы коллинеарны и сонаправлены) и равны по длине.
, т. к. они принадлежат одной прямой (коллинеарны и сонаправлены) и равны по длине (точка – середина ребра ).
, т. к. они принадлежат одной прямой (коллинеарны), противонаправлены и длины их равны (точка – середина ребра ).
Итак, мы ввели понятие вектора в пространстве, рассмотрели основные определения, касательно векторов в пространстве, рассмотрели равенство векторов и длины векторов в наиболее распространенных геометрических фигурах – прямоугольном параллелепипеде и тетраэдре.
Список литературы
- Геометрия. 10–11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
- Геометрия. 10–11 класс: учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
- Геометрия. 10 класс: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
В заданном параллелепипеде выразить через векторы 
и 
векторы 
:
Рис. 7. Параллелепипед
Постройте:
-пару равных векторов;
-пару коллинеарных векторов;
-пару неколлинеарных векторов, равных по модулю;
-пару ненулевых векторов;
В заданном тетраэдре 
; 
; точки 
и 
– середины сторон 
и 
соответственно. Выразить через векторы 
и 
все векторы, которые можно построить на ребрах тетраэдра:
Рис. 8. Тетраэдр
