01. Понятие вектора. Равенство векторов

Понятие вектора, основные связанные понятия

С понятием вектора на плоскости мы уже сталкивались. Мы говорили, что есть такие величины, для которых важно не только численное значение, но и направление, например, сила, скорость и т. д. Такие величины мы называли векторными или просто векторами. В математике вектор изображается в виде направленного отрезка. То есть, если задан отрезок  и сказано, что точка  – его начало, а  – конец, то говорят, что задан вектор  или вектор (рис. 1):

Определение

Вектором называется направленный отрезок, он имеет направление и величину.

Длина вектора соответствует длине отрезка, задающего этот вектор.

Теперь нужно ввести некоторые понятия, а именно: какие вектора называются равными, ввести операции сложения, вычитания, умножения на число и т. д.

Теперь введем второй вектор , обозначим его как вектор :

Если прямые  и  параллельны (или совпадают), то векторы  и  коллинеарны.

Коллинеарные векторы могут быть противонаправлены:  (рис. 2) или сонаправлены ().

Определение

Равными называются коллинеарные сонаправленные векторы, длины (модули) которых равны.

Имеем вектор  и вектор (рис. 3):

Заданные векторы равны, т. к. они коллинеарны, сонаправлены и их длины равны:

Существует также нулевой вектор (), т. е. вектор нулевой длины, он изображается точкой.

Проводя аналогию с числами: мы знали число  и противоположное ему число , это были такие числа, сумма которых равна нулю:

Аналогичное понятие существует и для векторов (рис. 4).

Задана точкаи два вектора: и . Эти векторы имеют одинаковую длину (), принадлежат одной прямой – коллинеарны – и противонаправлены. Такие векторы в сумме составляют нулевой вектор:

Кроме того:

С физической точки зрения это можно представить следующим образом: если с равной силой тянуть предмет одновременно в две противоположные стороны, то он никуда не сдвинется.

Перейдем к векторам в пространстве. Рассмотрим задачу.

Векторы в прямоугольном параллелепипеде, решение задачи

Задача 1

Измерения прямоугольного параллелепипеда  известны: ; ; . Найдите длины векторов: , , , , , .Рассмотрим чертеж (рис. 5).

Напомним основные важные факты о прямоугольном параллелепипеде:

1. Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания – параллелепипед прямой ();

2. Боковые грани прямого параллелепипеда прямоугольники, в основании может лежать параллелограмм;

3. Если в основании прямого параллелепипеда лежит прямоугольник, то такой параллелепипед называется прямоугольным ( – прямоугольник);

4. Прямоугольный параллелепипед полностью задается тремя измерениями: ширина (), длина (), высота ().

Итак, найдем длину вектора . Он равен векторам , ,  и равен высоте параллелепипеда, которая задана по условию: 12 см. . Чтобы решить данную задачу, нужно понимать, какие векторы называются равными.

Вектор : отрезок  имеет такую же длину, как отрезок : .

Вектор : отрезок  имеет такую же длину, как отрезок : .

Вектор : отрезок  – это диагональ боковой грани  параллелепипеда. Ее длина соответствует длине гипотенузы прямоугольного треугольника  с катетами  и . Можем найти длину гипотенузы по теореме Пифагора:

;

.

Вектор : отрезок  – это диагональ основания  параллелепипеда. Ее длина соответствует длине гипотенузы прямоугольного треугольника  с катетами  и . Можем найти длину гипотенузы по теореме Пифагора:

;

.

Вектор : отрезок  – это диагональ параллелепипеда. Ее длина соответствует квадратному корню из суммы квадратов всех измерений параллелепипеда:

;

.

Векторы в тетраэдре, решение задачи

Задача 2

Задан тетраэдр  с вершиной  и основанием . Точка  – середина ребра , точка  – середина ребра , точка  – середина ребра , точка  – середина ребра . Обозначены векторы , , , ,  и . Выпишите все пары равных векторов из обозначенных на рисунке. Определите вид четырехугольника .

Рассмотрим чертеж (рис. 6):

Для начала рассмотрим четырехугольник  без учета векторов. Отметим, что  и  как средняя линия треугольника . Аналогично  и  как средняя линия треугольника . Имеем: и по свойству транзитивности.

Так, в четырехугольнике  две противоположные стороны параллельны и равны, нам известен соответствующий признак: если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то такой четырехугольник – параллелограмм. Имеем:  – параллелограмм.

Теперь мы можем заключить равенство и параллельность отрезков  и , причем как сторон параллелограмма, так и средних линий для треугольников  и  соответственно.

Перейдем к равенству векторов:

 и , т. к. противоположные стороны параллелограмма принадлежат параллельным прямым (векторы коллинеарны и сонаправлены) и равны по длине.

, т. к. они принадлежат одной прямой (коллинеарны и сонаправлены) и равны по длине (точка  – середина ребра ).

, т. к. они принадлежат одной прямой (коллинеарны), противонаправлены и длины их равны (точка  – середина ребра ).

Итак, мы ввели понятие вектора в пространстве, рассмотрели основные определения, касательно векторов в пространстве, рассмотрели равенство векторов и длины векторов в наиболее распространенных геометрических фигурах – прямоугольном параллелепипеде и тетраэдре.

Список литературы

1. Геометрия. 10–11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

2. Геометрия. 10–11 класс: учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Домашнее задание

В заданном параллелепипеде выразить через векторы ,  и  векторы , , , , , , :

Постройте:

-пару равных векторов;

-пару коллинеарных векторов;

-пару неколлинеарных векторов, равных по модулю;

-пару ненулевых векторов;

В заданном тетраэдре ; ; точки  и  – середины сторон  и  соответственно. Выразить через векторы , ,  и  все векторы, которые можно построить на ребрах тетраэдра: