Задача 2

Задан тетраэдр с вершиной и основанием . Точка – середина ребра , точка – середина ребра , точка – середина ребра , точка – середина ребра . Обозначены векторы , , , , и . Выпишите все пары равных векторов из обозначенных на рисунке. Определите вид четырехугольника .

Рассмотрим чертеж (рис. 6):

Рис. 6. Тетраэдр

Для начала рассмотрим четырехугольник без учета векторов. Отметим, что и как средняя линия треугольника . Аналогично и как средняя линия треугольника . Имеем:

по свойству транзитивности.

Так, в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, нам известен соответствующий признак: если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то такой четырехугольник – параллелограмм. Имеем: – параллелограмм.

Теперь мы можем заключить равенство и параллельность отрезков и , причем как сторон параллелограмма, так и средних линий для треугольников и соответственно.

Перейдем к равенству векторов:

и , т. к. противоположные стороны параллелограмма принадлежат параллельным прямым (векторы коллинеарны и сонаправлены) и равны по длине.

, т. к. они принадлежат одной прямой (коллинеарны и сонаправлены) и равны по длине (точка – середина ребра ).

, т. к. они принадлежат одной прямой (коллинеарны), противонаправлены и длины их равны (точка – середина ребра ).

Итак, мы ввели понятие вектора в пространстве, рассмотрели основные определения, касательно векторов в пространстве, рассмотрели равенство векторов и длины векторов в наиболее распространенных геометрических фигурах – прямоугольном параллелепипеде и тетраэдре.

Список литературы

Геометрия. 10–11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
Геометрия. 10–11 класс: учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
Геометрия. 10 класс: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Cleverstudents.ru (Источник).
Coolreferat.com (Источник).
School.xvatit.com (Источник).

Домашнее задание

В заданном параллелепипеде выразить через векторы и векторы :

Рис. 7. Параллелепипед

Постройте:

-пару равных векторов;

-пару коллинеарных векторов;

-пару неколлинеарных векторов, равных по модулю;

-пару ненулевых векторов;

В заданном тетраэдре ; ; точки и – середины сторон и соответственно. Выразить через векторы и все векторы, которые можно построить на ребрах тетраэдра:

Рис. 8. Тетраэдр