Классы
Предметы

Разложение вектора по трём некомпланарным векторам. Задачи

Чтобы задать вопрос учителю, оплатите абонемент
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 150 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Пользователь Ученик
Пользователь 109748

Здравствуйте! Вот такая задача- не стандартный случай! очень хочется понять( единственная тема по геометрии которая не поддаётся мне). В тетраэдре DABC, M-точка пересечения медиан грани BDC, E- середина AC. Разложите вектор EM по векторам AC, AB и AD. Жду ответа! Спасибо!

Пользователь
Ответ учителя:Стрелец Лидия Олеговна

наверное Вы имели в виду, что точка О - точка пересечения медиан грани АВС. Тогда задача решается элементарно. Заданный вектор выражается по правилу треугольника через векторы d и AR, после этого вектор AR выражается из медианы - он составляет ее треть. Медиану легко по правилу треугольника выразить через векторы а и b. Так, правильный ответ: 1/2(b+c)-d

Пользователь
Ответ редактора:Hazel komissarenkoaa@univertv.ru

Переобозначим для удобства векторы следующим образом: AB=a, AC=b, AD=c (в данном ответе все буквенные записи подразумеваются в векторном виде, несмотря на отсутствие значков вектора). Далее необходимо пользоваться правилами сложения и вычитания векторов, а также свойствами медиан треугольника. Для начала отметим, что вектор АЕ=b/2. Это нам понадобится на завершающем этапе решения.


Теперь, чтобы найти вектор ЕМ, нам достаточно найти вектор АМ и воспользоваться вычитанием векторов: ЕМ=АМ-АЕ. Чтобы найти вектор АМ, найдём вектор ВМ, тогда по правилу треугольника АМ=АВ+ВМ. Теперь вспомним свойство медианы, а именно теорему Архимеда: медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, ВМ=2/3 * ВК (равенство верно и для векторов, так как они коллинеарны), где К – середина DС. А вектор ВК найти легко, так как он равен полусумме векторов ВD и ВС (следствие из правила параллелограмма). Для выражения этих двух векторов достаточно воспользоваться определением разности векторов. Получаем: ВК=1/2 * (ВD+ВС) = 1/2 * (АD-АВ+АС-АВ) = 1/2 * (b+c-2a). Тогда: ВМ=1/3 * (b+c-2a). Отсюда: АМ=а+1/3 * (b+c-2a)=1/3 * (a+b+c). Кстати, это выражение можно считать и общеизвестным фактом.


Теперь получим: ЕМ=АМ-АЕ=1/3 * (a+b+c) – b/2=1/3 * a – 1/6 * b + 1/3 * c.

Пользователь Ученик
Антипина Александра

медианы грани DABC тетраэдра пересекаются в точке о, точка R-cередина отрезка АО, раложите вектор DR по векторам AB=b, AC=с AD=d. задача похожая, но немного другая, помогите.