В планиметрии мы рассматривали два вида симметрии – центральную (относительно точки) и осевую (относительно прямой). Интуитивно мы не очень склонны считать симметрию движением. Но любая симметрия соответствует определяющему свойству движения – сохраняет расстояние между точками. Поэтому как математический инструмент, мы ее, конечно, относим к движению.

Понятие центральной симметрии в пространстве практически не отличается от такого же понятие на плоскости. Выберем точку , которая будет являться центром симметрии. Точки и называются симметричными относительно точки , если точка – середина отрезка (рис. 21).

Рис. 21 Центральная симметрия

Центральной симметрией назовем такое отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в точку, симметричную ей относительно центра . Точка называется центром симметрии.

Покажем, что центральная симметрия является движением, то есть сохраняет расстояния.

Теорема. Центральная симметрия является движением, то есть сохраняет расстояние.

Доказательство:

Рис. 22 Иллюстрация к доказательству

Пусть точки и имеют образы и (рис. 22). Тогда треугольники и равны по первому признаку, следовательно (рис. 23).

Рис. 23 Иллюстрация к доказательству

Таким образом, центральная симметрия сохраняет расстояние, т.е. является движением.

Выведем формулы преобразования координат при центральной симметрии.

Пусть центр симметрии имеет координаты: . Рассмотрим точку и ее образ (рис. 24). Так как – середина отрезка , то ее координаты равны среднему арифметическому координат точек и :

Рис. 24 Центральная симметрия

Выразим координаты образа, т.е. :

Конечно, удобно в качестве центра симметрии брать начало координат. Тогда точка имеет нулевые координаты и формулы преобразования координат принимают очень простой вид:

То есть, чтобы точку отобразить симметрично началу координат, нужно поменять знак у всех ее координат (рис. 25).

Рис. 25 Центральная симметрия относительно начала координат

Осевая симметрия в пространстве определяется так же, как и в планиметрии. Точки и называются симметричными относительно прямой , если отрезок пересекает прямую а под прямым углом и точкой пересечения делится пополам (рис. 26).

Рис. 26 Осевая симметрия относительно прямой

Отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в точку , симметричную ей относительно прямой , называется осевой симметрией. Прямая называется осью симметрии.

Теорема. Осевая симметрия является движением.

Зададим прямоугольную систему координат, приняв ось симметрии за ось (ось аппликат).

Рис. 27 Осевая симметрия относительно оси аппликат

Рассмотрим точку и ее образ (рис. 27). Так как отрезок перпендикулярен оси , то он параллелен плоскости . Следовательно точки и имеют одинаковые аппликаты (координаты ).

Рис. 28 Проекции на плоскость

Проекции точек и на ось имеют те же самые абсциссы и ординаты, что и сами точки и нулевые аппликаты (рис. 28). Но эти точки симметричны относительно начала координат. Следовательно, их абсциссы и ординаты отличаются только знаками. Таким образом, мы получили формулы преобразования координат:

Если бы координата тоже меняла свой знак, то мы получили бы не осевую, а центральную симметрию.

Теперь посмотрим, что происходит с расстоянием между точками при осевой симметрии. Пусть точки имеют образы (рис. 29).

Рис. 29 Точки и их образы

Найдем координаты векторов и :

Воспользуемся формулами преобразования координат () для второго вектора:

Таким образом, первые две координаты у этих векторов отличаются знаком, а третьи совпадают. Так как длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат, то длины этих векторов равны, а значит равны расстояния между прообразами и образами. Итак, осевая симметрия является движением.

Новым для нас видом симметрии является симметрия относительно плоскости. Ее еще называют зеркальной симметрией. Название связано с тем, что именно зеркально симметричное отображение мы видим в зеркале.

Рис. 30 Отражение в зеркале

По понятным причинам ее не могло быть в планиметрии.

Две точки называются симметричными относительно некоторой плоскости, если отрезок, их соединяющий, пересекает плоскость под прямым углом и делится точкой пересечения пополам (рис.31).

Рис. 31 Симметрия относительно плоскости

Теорема. Зеркальная симметрия является движением.

Используем снова координатный метод. Пусть плоскостью симметрии будет плоскость . Тогда у образа и прообраза отличаются только аппликаты своим знаком, а абсциссы и ординаты совпадают (рис.32).

Рис. 32 - плоскость симметрии

Рассмотрим расстояния между точкам и и их образами при зеркальной симметрии и . Пусть точки и имеют координаты: и . Тогда их образы: и .

У векторов и тоже отличаются только аппликаты и только знаком:

Понятно, что длины таких векторов равны. Следовательно, зеркальная симметрия является движением, так как сохраняет расстояния.