Задача 1. Найти угол между векторами , .

Решение. Вспомним, что .

По формулам: ; .

Тогда .

Значит, .

Ответ: .

Задача 2. В единичном кубе найти угол между прямыми и . (См. Рис. 9.)

Иллюстрация к условию

Рис. 9. Иллюстрация к условию

Решение. Сразу отметим, что требуется найти угол между прямыми, то есть угол между ними будет острым. Значит, если косинус получится отрицательным, то надо взять его по модулю, найдя смежный острый угол.

Способ 1. Введем систему координат. (См. Рис. 10.)

Ввели систему координат

Рис. 10. Ввели систему координат

Найдем координаты интересующих нас точек: , , , .

Теперь найдем координаты векторов: , .

Тогда нужно найти косинус угла между данными векторами: . Тогда .

Значит,. Тогда эти векторы перпендикулярны, а тогда и угол между исходными прямыми – прямой, то есть .

Способ 2. Перенесем вектор параллельно так, чтобы точка совместилась с точкой , получим вектор , тогда найдем угол между и . (См. Рис. 11.)

Иллюстрация ко второму способу решения

Рис. 11. Иллюстрация ко второму способу решения

Способ 3. Используем теорему о трех перпендикулярах. Проекцией прямой на плоскость передней грани является прямая , которая перпендикулярна (как диагональ квадрата). (См. Рис. 12.) Значит, исходные прямые перпендикулярны.

Прямая и ее проекция

Рис. 12. Прямая и ее проекция

Ответ: .