Введение
На этом уроке мы поговорим о плоскостях. Начнем с очередной планиметрической аналогии. Помните, мы выводили уравнение прямой на плоскости? Оно имело вид 
. Мы использовали это уравнения для решения различных задач, например для вычисления угла между прямыми, нахождения расстояния от точки до прямой и т. д. Выведем аналогичное уравнение для плоскости в пространстве.
Уравнение плоскости
Выведем уравнение плоскости, проходящей через точку 
и перпендикулярной вектору 
. (См. Рис. 1.)
Рис. 1. Исходные данные
Оказывается, этого достаточно, чтобы задать плоскость. Действительно, раз вектор перпендикулярен плоскости, это равносильно тому, что он перпендикулярен двум пересекающимся прямым данной плоскости. Если рассмотреть такие две прямые, проходящие через точку 
, они однозначно задают плоскость по следствию из аксиомы.
Как задать уравнение плоскости? Вообще, что такое уравнение плоскости? Уравнение плоскости – это уравнение, которому удовлетворяют координаты всех точек этой плоскости и только они.
Пусть 
– произвольная точка пространства, отличная от . Эта точка лежит в нашей плоскости тогда и только тогда, когда векторы 
и 
перпендикулярны. А это в свою очередь означает, что скалярное произведение этих векторов равно нулю. (См. Рис. 2.)
Рис. 2. 
Запишем координаты вектора : 
. Тогда скалярное произведение 
. Домножим всё на 
и раскроем скобки. Получим:
Обозначая 
через 
, приходим к общему (стандартному) виду уравнения плоскости:
Обратите внимание, что для каждой плоскости существует такой набор коэффициентов 
(и он не один, с точностью до домножения на число), который задает ее уравнение (а значит, и саму плоскость). Кстати, верно и обратное утверждение: любое уравнение такого вида задает плоскость. Действительно, по первым трем коэффициентам можно однозначно определить вектор, перпендикулярный плоскости, а коэффициент помогает установить необходимую точку из плоскости.
Уравнение плоскости в пространстве напоминает уравнение прямой на плоскости – только добавилась еще одна переменная (из-за трёхмерности пространства). Обратите внимание, что в данном уравнении 
– координаты произвольной точки пространства и уравнение обращается в верное равенство тогда и только тогда, когда точка лежит в плоскости 
.
Также отметим, что коэффициенты при переменных в данном равенстве – это просто координаты вектора, перпендикулярного нашей плоскости. И это полезно запомнить: теперь, зная координаты вектора, перпендикулярного плоскости, и одной точки, лежащей в плоскости, мы легко можем построить ее уравнение.
Но верно и обратное утверждение: если дано уравнение плоскости, то легко можно выписать координаты вектора, ей перпендикулярного. Кстати, такой вектор называют нормальным или вектором нормали к плоскости.
Но ведь таких векторов бесконечно много. Конечно, но и уравнений плоскости бесконечно много – мы же можем домножить его на любую константу. Это и позволит получить любой нормальный вектор, коллинеарный исходному.
Примеры
Пример 1. Дан единичный куб 
. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку 
перпендикулярно прямой 
. Система координат задана. (См. Рис. 3.)
Рис. 3. Иллюстрация к задаче
Решение:
Найдем координаты интересующих нас вершин: 
, 
, 
.
Значит, 
. Стандартное уравнение плоскости имеет вид: . Но ведь коэффициенты при переменных в данном равенстве – это просто координаты вектора, перпендикулярного нашей плоскости, то есть координаты вектора 
.
Таким образом, уравнение плоскости имеет вид 
.
Мы знаем, что эта плоскость проходит через точку . Подставляя эти координаты в найденное уравнение плоскости, мы можем найти . Имеем:
Получаем, что уравнение плоскости имеет вид 
.
Ответ: .
Пример 2. Пусть даны точки 
, 
, 
. Написать уравнение плоскости 
.
Решение:
Будем искать уравнение плоскости в виде .
Подставив координаты точек 
, и 
в уравнение, имеем систему:
Итого, имеем: 
. Поделив на 
, имеем ответ:
Ответ: .
Заодно мы нашли координаты нормального вектора: 
.
Расстояние от точки до плоскости. Пример
Даны плоскость и точка 
, не лежащая в этой плоскости. Найдите расстояние от точки до плоскости. (См. Рис. 4.)
Рис. 4. Иллюстрация к примеру
Решение:
Будем считать, что уравнение плоскости известно: (имеется в виду, что нам известны все коэффициенты этого уравнения: ).
По определению, искомое расстояние – это длина перпендикуляра 
, где 
– проекция точки 
на данную плоскость. (См. Рис. 5.)
Рис. 5. – искомое расстояние
Заметим, что 
, где – нормальный вектор к плоскости . При этом известно, что 
. Но если два вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны: 
.
Теперь, зная координаты точки , найдем координаты точки – конца нашего искомого вектора. Так как координаты вектора вычисляются с помощью вычитания координат начала из координат конца, то координаты конца вектора соответственно равны сумме координат начала и координат вектора. Значит, координаты точки : 
.
Точка принадлежит плоскости , следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости. Подставляя найденные координаты точки в уравнение плоскости , находим неизвестный коэффициент 
:
И наконец, найдем искомую длину вектора 
:
Сокращая это выражение на 
, приходим к окончательной формуле:
Обратите внимание, что, хотя «вывод» формулы занял у нас изрядное время, повторять его при решении задач не придется. Достаточно будет просто применить формулу. Так что внимательно ознакомимся с этой формулой и поймём, что именно в нее нужно подставить. Во-первых, числа . Они берутся из уравнения плоскости, так что первым делом нам надо будет вывести само уравнение плоскости, зная координаты точек , и . И, во-вторых, это 
– координаты точки М. Они нам даны, так что тут ничего дополнительно считать не надо.
Пример
В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 
, а высота – 
. Точка – середина ребра 
. Найти расстояние от точки до плоскости 
. (См. Рис. 6.)
Рис. 6. Иллюстрация к примеру
Решение:
Введем систему координат. (См. Рис. 7.)
Рис. 7. Введенная система координат
1. Найдем координаты точек , 
, 
, 
, :
, 
, 
, 
, 
2. Найдем уравнение плоскости . Общий вид уравнения плоскости: . Подставим в него координаты точек , , :
Итак, уравнение плоскости имеет вид:
.
Разделим всё на 
и домножим на . Получим:
.
3. Вычислим расстояние от точки до плоскости по формуле:
Ответ:
.
Заключение
На этом уроке мы узнали, как выглядит уравнение плоскости в пространстве: . Выяснили, что оно похоже на уравнение прямой на плоскости. Также мы выяснили, что соответствующие коэффициенты 
, 
, 
– это координаты нормального вектора. Кроме того, мы обнаружили, что уравнение плоскости часто применяется при нахождении расстояния от точки до плоскости, и записали формулу для нахождения этого расстояния: 
.
Список литературы
- Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. 18-е изд. - М.: Просвещение, 2009. - 255 с.
- А.В. Погорелов. Геометрия 11 класс. – М.: Просвещение, 2002.
- В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков. Рабочая тетрадь по геометрии 11 класс.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Составьте уравнение плоскости, зная, что точка
служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости. - Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки
, 
и 
. - В единичном кубе найдите расстояние от точки до плоскости
.
