Даны плоскость и точка , не лежащая в этой плоскости. Найдите расстояние от точки до плоскости. (См. Рис. 4.)

Рис. 4. Иллюстрация к примеру

Решение:

Будем считать, что уравнение плоскости известно: (имеется в виду, что нам известны все коэффициенты этого уравнения: ).

По определению, искомое расстояние – это длина перпендикуляра , где – проекция точки на данную плоскость. (См. Рис. 5.)

Рис. 5. – искомое расстояние

Заметим, что , где – нормальный вектор к плоскости . При этом известно, что . Но если два вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны: .

Теперь, зная координаты точки , найдем координаты точки – конца нашего искомого вектора. Так как координаты вектора вычисляются с помощью вычитания координат начала из координат конца, то координаты конца вектора соответственно равны сумме координат начала и координат вектора. Значит, координаты точки : .

Точка принадлежит плоскости , следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости. Подставляя найденные координаты точки в уравнение плоскости , находим неизвестный коэффициент :

И наконец, найдем искомую длину вектора :

Сокращая это выражение на , приходим к окончательной формуле:

Обратите внимание, что, хотя «вывод» формулы занял у нас изрядное время, повторять его при решении задач не придется. Достаточно будет просто применить формулу. Так что внимательно ознакомимся с этой формулой и поймём, что именно в нее нужно подставить. Во-первых, числа . Они берутся из уравнения плоскости, так что первым делом нам надо будет вывести само уравнение плоскости, зная координаты точек , и . И, во-вторых, это – координаты точки М. Они нам даны, так что тут ничего дополнительно считать не надо.