Угол между прямой и плоскостью

Введение

Находить угол между прямой и плоскостью мы будем с помощью координатного метода. Но для начала вспомним, что угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость (рис. 1).

Рис. 1. Угол между прямой  и плоскостью  – это угол между прямой  и ее проекцией

Какие углы мы умеем считать? Мы можем посчитать угол между двумя векторами, используя скалярное произведение этих векторов. Поэтому будем считать, что прямая задана своим направляющим вектором (), а для плоскости мы знаем вектор, перпендикулярный ей () (рис. 2). То есть задачу нахождения угла между прямой и плоскостью можно свести к нахождению угла между векторами.

Рис. 2. Угол между векторами

Угол между прямой и плоскостью как угол между векторами

По определению искомый угол – это угол  (рис. 3).

Рис. 3. Искомый угол

Мы можем найти угол  – угол между прямой и нормальным вектором (рис. 4).

Рис. 4. Угол

Заметим, что прямые ,  и  лежат в одной плоскости (рис. 5).

Рис. 5. Прямые в одной плоскости

Значит, угол  – прямой, так как вектор  перпендикулярен всей плоскости , а значит, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности прямой  (рис. 6).

Рис. 6. Угол  – прямой

Пусть , тогда  (рис. 7).

Рис. 7. Углы  и

Но тогда по формуле приведения имеем: .

Замечание: никто не сказал, что угол между нашими векторами будет острым. То есть мы можем найти либо острый угол (), либо тупой () (рис. 8).

Рис. 8. Острый угол () и тупой ()

Если речь идет о тупом угле, то его косинус будет отрицательным, то есть полученный косинус надо взять по модулю, и тогда мы получим синус искомого угла. Итак, мы доказали утверждение: синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и вектором нормали к плоскости:.

Можно записать, что .

Можно сформулировать это правило и «без модуля»: синус угла между прямой и плоскостью равен косинусу угла между этой прямой и прямой, содержащей нормаль к плоскости.

Алгоритм: как найти угол между прямой и плоскостью

1) Найти координаты направляющего вектора прямой (например, найти координаты двух точек данной прямой).

2) Найти координаты нормального вектора плоскости (перпендикулярного данной плоскости).

3) Найти косинус угла между векторами через скалярное произведение.

4) Модуль найденного косинуса равен синусу искомого угла.

Задача (дан вектор нормали)

Пусть дана плоскость , которая перпендикулярна вектору  (рис. 9). Найдите угол между этой плоскостью и прямой , где

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

Решение

Будем следовать плану:

1) найдем координаты вектора  (из конца вектора вычтем начало): ;

2) найдем косинус угла между вектором  и вектором : ;

3) вспомним, что . Значит, ;

4) 

Ответ: .

Может возникнуть вопрос: что делать, если нам не дан в условии вектор, перпендикулярный плоскости? Мы отмечали, что это вектор нормали к плоскости, а его координаты можно взять из уравнения плоскости.

Задача (не дан вектор нормали)

В прямоугольном параллелепипеде , . Найдите угол между прямой  и плоскостью  (рис. 10).

Рис. 10. Нужно найти угол между  и плоскостью

Решение

1. Введем систему координат:  (рис. 11).

Рис. 11. Введение систему координат

2. Найдем вектор  (из координат конца, вычтем координаты начала): .

3. Составим уравнение плоскости .

Уравнение плоскости имеет вид: . Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки ,  и , подставив их координаты в общее уравнение плоскости. Получим: .

Уравнение плоскости имеет вид: , то есть . Значит, вектор нормали к плоскости имеет координаты  – коэффициенты уравнения плоскости.

4. .

5.

Ответ: .

---

Пример

В правильной треугольной пирамиде  с основанием  известны ребра  и ,  – середина ребра ,  – середина ребра . Найти угол между плоскостью основания и прямой  (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Решение

1. Введем систему координат. Началом координат выберем точку , ось  направим вдоль ребра , ось  – в плоскости основания , перпендикулярно , ось  – параллельно высоте пирамиды.

Рис. 2. Введенная система координат

Найдем координаты вершин пирамиды, центра вписанной и описанной окружности , а также точек  и  – середин ребер  и . Для этого сделаем выносной рисунок плоскости основания пирамиды (рис. 3).

Рис. 3. Выносной рисунок основания

Тогда , , , .

3.  (как радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника ).

4. Из треугольника , по теореме Пифагора,  (рис. 4). Следовательно, координаты точки .

Рис. 4. Треугольник

5.  – середина , так что координаты точки  – это полусумма соответствующих координат точек  и . То есть .

6.  – середина , так что координаты точки  – это полусумма соответствующих координат точек  и . То есть .

7. Найдем координаты вектора {}.

8. Очевидно, что ось аппликат перпендикулярна плоскости основания, так что вектор  является вектором нормали к плоскости основания.

9. .

10. Если искомый угол равен α, то

.

Ответ:.

Заключение

На этом уроке мы научились вычислять угол между прямой и плоскостью в координатах. Мы научились решать эту задачу в общем виде: то есть если нам известны координаты двух точек нашей прямой и координаты трех точек нашей плоскости, то мы можем, во-первых, найти направляющий вектор данной прямой (координаты этого вектора); во-вторых, найти координаты нормали к плоскости; в-третьих, вычислить косинус угла между ними через скалярное произведение; в-четвертых, сказать, что синус искомого угла равен модулю косинуса найденного угла; ну и, наконец, найти арксинус.

 

Список рекомендованной литературы

1) Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10–11 классов. М.: Просвещение, 2009.

2) Погорелов А.В. Геометрия 11 класс. М.: Просвещение, 2002.

3) Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А. Рабочая тетрадь по геометрии 11 класс.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1) Интернет-сайт cleverstudents.ru (Источник)

2) Интернет-сайт onlinemschool.com (Источник)

3) Интернет-сайт math-around.ru (Источник)

 

Домашнее задание

1) В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны , найдите синус угла между прямой  и плоскостью .

2) В прямоугольном параллелепипеде  ; ; . Найти угол между прямыми  и .

3) Основанием прямой призмы  является прямоугольный треугольник , с гипотенузой , и катетом . Высота призмы равна . Найдите угол между прямой  и плоскостью .