По определению искомый угол – это угол (рис. 3).

Рис. 3. Искомый угол

Мы можем найти угол – угол между прямой и нормальным вектором (рис. 4).

Рис. 4. Угол

Заметим, что прямые , и лежат в одной плоскости (рис. 5).

Рис. 5. Прямые в одной плоскости

Значит, угол – прямой, так как вектор перпендикулярен всей плоскости , а значит, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности прямой (рис. 6).

Рис. 6. Угол – прямой

Пусть , тогда (рис. 7).

Рис. 7. Углы и

Но тогда по формуле приведения имеем: .

Замечание: никто не сказал, что угол между нашими векторами будет острым. То есть мы можем найти либо острый угол (), либо тупой () (рис. 8).

Рис. 8. Острый угол () и тупой ()

Если речь идет о тупом угле, то его косинус будет отрицательным, то есть полученный косинус надо взять по модулю, и тогда мы получим синус искомого угла. Итак, мы доказали утверждение: синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и вектором нормали к плоскости:.

Можно записать, что .

Можно сформулировать это правило и «без модуля»: синус угла между прямой и плоскостью равен косинусу угла между этой прямой и прямой, содержащей нормаль к плоскости.