Рис. 17. Куб со стороной

Следствие 1. Объем куба со стороной (см. Рис. 17) равен : .

Доказательство. Пусть , (см. Рис. 18).

Рис. 18. Сторона куба равна

Разобьем куб на маленькие кубики со стороной 1. Раз , то каждая сторона разобьется на частей (см. Рис. 19).

Разбиение куба на маленькие

Рис. 19. Разбиение куба на маленькие

Найдем количество кубиков. Очевидно, что слоев будет (см. Рис. 20).

Разбиение куба на слоев

Рис. 20. Разбиение куба на слоев

В каждом слое помещается кубиков. Значит, всего кубиков будет . Объем каждого из них равен 1 (по третьему свойству). Тогда объем всего куба равен (по второму свойству). Имеем, . Что и требовалось доказать.

Следствие 2. Объем куба со стороной () равен :

Рис. 21. Единичный куб

Доказательство. Пусть . Рассмотрим единичный куб (см. Рис. 21).

Разбиение единичного куба плоскостями

Рис. 22. Разбиение единичного куба плоскостями

Разобьем его плоскостями (как в следствии 1), а каждую сторону на частей. Соответственно, если сторона равна 1, то каждый образовавшийся отрезок равен (см. Рис. 22).

Количество кубиков, которые помещаются в куб, будет равно . Но объем каждого из них неизвестен, а известен лишь объем большого куба (по третьему свойству). Учитывая то, что единичный куб состоит из маленьких одинаковых кубиков, чьи объемы равны (по первому свойству), то общий объем равен . Тогда . Что и требовалось доказать.

Следствие 3. Объем куба равен кубу его стороны: .