Повторение
Рассмотрим решение различных задач на объем шара и его частей. Напомним формулу объема шара:
Рис. 1 Формулы объёмов шара и сегмента
, а также объема сегмента: 
. (См. Рис. 1.)
На самом деле формулу объема сегмента помнить не обязательно, т. к. ее можно выводить с помощью интеграла, если вы помните.
Задача 1
Диаметр Луны составляет приблизительно четверть диаметра Земли. Какую часть объема Земли составляет объем Луны, если считать их шарами? (См. Рис. 2.)
Рис. 2 Земля и Луна
Решение. Раз диаметры отличаются в 
раза, то и радиусы в раза, то есть 
(см. Рис. 3).
Рис. 3 Радиусы
Мы увидели, что если измерения некоторой фигуры изменить в 
раз, то объем данной фигуры изменится в 
раз. В данном случае измерение увеличили в раза, значит, объем увеличился в 
раза.
Ответ: 
.
Задача 2
Во сколько раз увеличится масса металлического шарика, если увеличить его радиус в два раза? Предполагается, что оба шарика сплошные и состоят из одинакового материала.
Рис. 4 Иллюстрация к задаче 2
Решение
По определению 
, тогда 
.
Раз материалы одинаковые (плотности шаров равны), то 
. При этом 
, а тогда по формуле 
. То есть 
, а значит, и массы отличаются в 
раз.
Ответ: в раз.
Важное следствие: если измерения фигур изменить в раз, то не только объем, а и масса данной фигуры изменится в раз при условии, что объекты однородны и состоят из одного и того же самого материала.
Задача 3
Рис. 5 Три сплошных металлических шарика и полученный новый
Радиусы трех сплошных металлических шариков равны 
, и 
см соответственно. Эти шарики расплавили и из получившегося металла отлили новый сплошной шар. Чему будет равен его радиус? (См. Рис. 5.)
Решение. Раз масса не изменилась, а плотность одинаковая, то 
. Сокращаем на 
и получаем, что объем нового шара будет равен сумме объемов исходных. Имеем: 
Сократим на 
:
cм.
Ответ: 
см.
Задача 4
Сколько кубометров земли потребуется для устройства клумбы, имеющей форму шарового сегмента с радиусом основания 
м и высотой 
см? (См. Рис. 6.)
Рис. 6 Шаровой сегмент
Решение
м, 
см 
м. Как мы знаем, по формуле:
.
Рис. 7 Иллюстрация к обозначению переменных
Найдем радиус шара. Пусть он равен . Тогда имеем прямоугольный треугольник 
(
– центр шара, 
– центр сечения, 
– точка на границе сечения), 
, 
; 
. (См. Рис. 7.)
По теореме Пифагора:
м.
Осталось подставить это в формулу:
.
Ответ:
.
Задача 5
Найти радиус шара, если известно, что его объем равен объему цилиндра с осевым сечением, имеющим форму квадрата со стороной 
.
Рис. 8 Иллюстрация условия задачи 5
Решение. Рассмотрим цилиндр из условия.
, 
. Значит,
(см. Рис. 9).
Рис. 9 Цилиндр из условия
С другой стороны, 
.
Приравнивая, имеем:
Ответ: 
.
Заключение
Сегодня мы решили ряд задач, которые используют формулы объема шара и объем сегмента, увидели, как эти формулы работают на практике, и выяснили связь между объемом и массой.
Список литературы
1. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.
2. А.В. Погорелов. Геометрия 11 класс. – М.: Просвещение, 2002. В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков. Рабочая тетрадь по геометрии 11 класс.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет-сайт fxyz.ru (Источник)
2. Интернет-сайт math24.ru (Источник)
3. Интернет-сайт «Математика? Легко!» (Источник)
Домашнее задание
1. Шар радиуса пересечен плоскостью на расстоянии 
от центра. Найдите площадь сечения.
2. Металлический шар радиуса 
переплавили в конус, высота которого – . Найдите отношение площади боковой поверхности конуса к площади его основания.
3. Радиусы трех шаров равны ,
и . Найдите радиус шара, объем которого равен сумме объемов данных шаров.
