Теорема.

Объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра и площади сечения призмы, перпендикулярного боковой стороне .

(См. Рис. 14.)

Рис. 14. Ребро призмы и перпендикулярное ему сечение

Обратите внимание: площадь сечения не равна площади основания. Она равна только в том случае, если призма прямая.

Другая формула нахождения объема наклонной призмы

Докажем, что объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь перпендикулярного сечения : . (См. Рис. 1.)

Рис. 1. Иллюстрация к доказательству

Сначала вспомним, что (См. Рис. 2.)

Рис. 2. Высота, проведенная к основанию

Теперь рассмотрим точки и – точки пересечения прямых и и прямых и соответственно (прямые лежат в одинаковых гранях, так что можно их пересечь). Следует заметить, что плоскость – это то же самое, что и плоскость . (См. Рис. 3.)

Рис. 3. Пересечение прямых и и прямых и

Значит, угол между плоскостями и – это линейный угол двугранного угла. (См. Рис. 4.)

Рис. 4. Линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями и

По теореме площадь проекции некоторой фигуры равна произведению площади исходной фигуры на косинус угла между плоскостями, то есть .

Далее заметим, что , потому что плоскость (т. к. и ) и . И если рассмотреть высоту треугольника , то (по построению) и (т. к. ). Значит, и ( перпендикулярна двум пересекающимся прямым из основания), а тогда , откуда – высота.

Теперь рассмотрим Рис. 5.

Рис. 5. Выносной рисунок

Из него видно, что . Тогда

Имеем, что и . Значит, . Что и требовалось доказать.