Введение
Вы уже знаете, как вычислять объемы некоторых тел, таких как куб, прямоугольный параллелепипед, прямая призма и цилиндр, в пространстве. Надо еще научиться вычислять объёмы наклонной призмы, конуса, шара пирамиды и других тел. Для этого попытаемся разбить искомое тело на уже известные нам фигуры, а их объёмы сложить.
Вычисление объема через определенный интеграл
Рассмотрим произвольную фигуру 
в пространстве, пусть это будет пирамида (на ее месте может быть любая другая фигура). Обозначим ее объем через 
– его нам и надо найти. Также будем считать, что тело ограничено двумя параллельными плоскостями (одна совпадает с плоскостью основания, другая содержит вершину пирамиды). (См. Рис. 1.)
Рис. 1. Пирамида (фигура ) и две параллельные плоскости
Далее введем ось 
, перпендикулярную рассмотренным плоскостям, предположим, что координаты точек пересечения плоскостей и оси – 
и 
соответственно. (См. Рис. 2.)
Рис. 2. Ось , пересекающая плоскости в точках и
Теперь разобьем отрезок 
на 
равных отрезков точками 
и 
. (См. Рис. 3.)
Рис. 3. Разбиение отрезка на равных отрезков
Через каждую из этих точек проведем плоскость, перпендикулярную оси . (См. Рис. 4.)
Рис. 4. Плоскости, перпендикулярные оси
Тогда тело разбилось на слоев, каждый из которых представляет из себя практически прямую призму (основание – не всегда многоугольник (если за тело взять конус или сферу, основанием будет круг), и верхнее основание не совсем равно нижнему). Значит, объем каждой части можно приближенно посчитать как объем прямой призмы, то есть как площадь основания, умноженную на высоту. (См. Рис. 5.)
Рис. 5. Разбиение пирамиды на слои
Через 
обозначим площадь сечения тела плоскостью, проходящей через точку оси с абсциссой 
перпендикулярно этой оси.
Тогда площадь слоя (прямой призмы) (см. Рис. 6) можно посчитать по формуле 
. То есть 
. Учитывая, что 
– постоянная величина, то ее можно вынести за знак суммы 
.
Рис. 6. Слой пирамиды
Очевидно, что, увеличивая количество промежутков n и устремляя его к бесконечности, мы получим все более точное значение для объема. Тогда 
. Видим, что правая часть – это определенный интеграл функции на отрезке . В таком случае 
.
Эта формула очень пригодится как на этом уроке, так и в дальнейшем, когда мы будем находить объемы пирамиды и конуса.
Объем наклонной призмы
Рассмотрим треугольную наклонную призму. Пусть дана треугольная наклонная призма 
и ось , перпендикулярная обоим основаниям призмы. (См. Рис. 7.)
Рис. 7. Призма и ось
Докажем, что для произвольного на оси площадь перпендикулярного сечения 
равна площади 
основания призмы. Проведем сечение 
. Плоскости сечения и основания параллельны, так как они перпендикулярны одной прямой. (См. Рис. 8.)
Рис. 8. Сечение
Значит, и прямые пересечения плоскостей с любой плоскостью параллельны. В частности, 
. Но тогда 
– параллелограмм по определению, ведь боковые ребра призмы также параллельны (
). (См. Рис. 9.)
Рис. 9. – параллелограмм
А значит, 
. Аналогично 
и 
. Значит, 
(по трем сторонам), а тогда их площади равны. (См. Рис. 10.)
Рис. 10.
Отсюда следует, что 
для любого , где – площадь произвольного сечения, – площадь основания призмы. А значит, объем призмы равен (высоту примем за 
): 
.
Итак, объем треугольной наклонной призмы равен площади основания, умноженной на высоту 
.
Осталось заметить, что если разбить произвольную наклонную призму на треугольные (см. Рис. 11), то их высоты будут одинаковыми, а значит, объем исходной призмы можно вычислить так:
.
Рис. 11. Разбиение многоугольной призмы на треугольные
Таким образом, формула верна для любой призмы. Что и требовалось доказать.
Пример 1
Дана треугольная призма . Найти ее объем, если 
см, 
см и 
см, а боковое ребро 
см и составляет с плоскостью основания угол 
. (См. Рис. 12.)
Рис. 12. Иллюстрация к примеру 1
Решение. Найдем площадь основания призмы. Проведем высоту 
в равнобедренном треугольнике. Она будет и медианой. Отсюда получаем, что половина основания 
см, а высота основания 
см (
), значит, площадь основания 
. (См. Рис. 13.)
Рис. 13. Основание призмы
Далее, если 
– боковое ребро и 
– высота, то 
прямоугольный, и по условию в нем 
. Отсюда получается, что высота 
см.
Осталось подставить это в формулу для нахождения объема призмы 
.
Ответ: 
.
Теорема
Теорема.
Объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра и площади сечения призмы, перпендикулярного боковой стороне
.
(См. Рис. 14.)
Рис. 14. Ребро призмы и перпендикулярное ему сечение
Обратите внимание: площадь сечения не равна площади основания. Она равна только в том случае, если призма прямая.
Другая формула нахождения объема наклонной призмы
Докажем, что объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь перпендикулярного сечения 
: 
. (См. Рис. 1.)
Рис. 1. Иллюстрация к доказательству
Сначала вспомним, что 
(См. Рис. 2.)
Рис. 2. Высота, проведенная к основанию
Теперь рассмотрим точки 
и 
– точки пересечения прямых 
и 
и прямых 
и 
соответственно (прямые лежат в одинаковых гранях, так что можно их пересечь). Следует заметить, что плоскость 
– это то же самое, что и плоскость 
. (См. Рис. 3.)
Рис. 3. Пересечение прямых и и прямых и
Значит, угол между плоскостями и 
– это линейный угол 
двугранного угла. (См. Рис. 4.)
Рис. 4. Линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями и
По теореме площадь проекции некоторой фигуры равна произведению площади исходной фигуры на косинус угла между плоскостями, то есть 
.
Далее заметим, что 
, потому что плоскость 
(т. к. 
и 
) и 
. И если рассмотреть высоту треугольника 
, то 
(по построению) и 
(т. к. ). Значит, и ( перпендикулярна двум пересекающимся прямым из основания), а тогда 
, откуда – высота.
Теперь рассмотрим Рис. 5.
Рис. 5. Выносной рисунок
Из него видно, что 
. Тогда 
Имеем, что 
и . Значит, 
. Что и требовалось доказать.
Пример 2
Найти объем наклонной треугольной призмы , если расстояния между ее боковыми ребрами 
; 
; 
, а площадь боковой поверхности 
. (См. Рис. 15.)
Рис. 15. Иллюстрация к примеру 2
Решение. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей боковых граней. Каждая грань представляет собой параллелограмм, причем у этих параллелограммов есть сторона (все боковые стороны призмы равны), а высота каждого параллелограмма – это высота между боковыми ребрами. (См. Рис. 16.)
Рис. 16. – боковое ребро призмы
Тогда 
. Значит, боковое ребро призмы 
.
Теперь заметим, что перпендикулярное сечение – треугольник со сторонами 
, 
и 
. Действительно, если рассмотреть перпендикуляры 
и 
к боковому ребру , равные и , то плоскость 
, содержащая их, будет перпендикулярна боковому ребру 
, а тогда она перпендикулярна и оставшимся двум боковым ребрам 
и
, т.к. 
, а значит, оставшаяся сторона сечения 
(См. Рис. 17.)
Рис. 17. Перпендикулярное сечение – треугольник со сторонами 13, 30 и 37
Найдем площадь этого треугольника по формуле Герона. Полупериметр 
, значит
.
Окончательно, 
.
Ответ:
.
Заключение
На этом уроке мы выяснили, как находить объем фигуры через определенный интеграл , и с помощью него была выведена формула для нахождения объема произвольной призмы (в дальнейшем выведем формулы для объема пирамиды, конуса и шара). Кроме того, мы познакомились с еще одной формулой для вычисления объема наклонной призмы И решили несколько задач на использование этих формул.
Список литературы
1. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.
2. А.В. Погорелов. Геометрия 11 класс. – М.: Просвещение, 2002.
3. Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И. Геометрия. 11 класс. Рабочая тетрадь. 8-е изд. – М.: Просвещение, 2013. – 78 с.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет-сайт «ЯКласс» (Источник)
2. Интернет-сайт 900igr.net (Источник)
3. Интернет-сайт obmir.ru (Источник)
Домашнее задание
1. Основанием наклонной призмы является равнобедренный треугольник с боковой стороной 
см и углом при вершине 
. Боковое ребро призмы равно 
см и образует с плоскостью основания угол 
. Найдите объем призмы.
2. Все грани призмы – равные ромбы со стороной 
см и острым углом 
. Найдите объем призмы.
3. Боковое ребро наклонной треугольной призмы равно и удалено от противоположной боковой грани на расстояние 
. Расстояние между двумя другими боковыми ребрами равно 
. Найдите объем призмы.
