Решение задач на объемы цилиндра и призмы

Задача 1

Найти объем цилиндра, диаметр основания которого равен его высоте, а площадь осевого сечения равна . (См. рис. 1.)

Решение. Рассмотрим осевое сечение. Это прямоугольник, его стороны – диаметр и высота. (См. рис. 2.)

Значит, это квадрат (по условию), а тогда . Отсюда , , а тогда объем равен: .

Ответ: .

Задача 2

 

Найти объем прямой треугольной призмы  (см. рис. 3), если ; ; , а наибольшая из площадей боковых граней равна .

Решение. Для нахождения объема нужно найти площадь основания и высоту. Площадь основания ищется сразу (см. рис. 4):

.

Дальше заметим, что площадь каждой боковой грани равна произведению стороны основания на высоту. (См. рис. 5.)

Значит, наибольшая площадь будет, когда сторона основания наибольшая. Очевидно, это сторона , которая лежит против тупого угла. (См. рис. 6.)

Найдем ее по теореме косинусов:

А тогда высота призмы равна: .

Окончательно,

Ответ:

Задача 3

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами  и . Боковые ребра равны . Найдите объемы призмы и цилиндра, описанного около этой призмы. (См. рис. 7.)

Решение. Объем призмы находится сразу (см. рис. 8).

.

Для того чтобы найти объем цилиндра, необходимо знать радиус его основания. Если цилиндр описан около призмы, то его радиусом будет радиус окружности, описанной около основания призмы. Основанием призмы является прямоугольный треугольник, тогда радиус окружности, описанной около него, будет равен половине гипотенузы.

По теореме Пифагора гипотенуза основания , а тогда радиус описанной окружности равен  – это и есть радиус основания цилиндра. Высота у него такая же, как и у призмы.

Имеем: .

Ответ: .

Задача 4

Какое количество нефти в тоннах вмещает цилиндрическая цистерна диаметром  м и высотой  м (см. рис. 9), если плотность нефти равна ? Округлите  до , а сам ответ – до тонн.

Решение. Нам нужно найти массу. Из курса физики . Значит, нужно найти объем. По условию,  и , тогда .

Имеем: .

Теперь переведем плотность из  в более удобные единицы , т. к. объем цистерны мы получили в : .

Тогда  т.

Подставляя , получаем: .

Ответ: .

Задача 5

 

Найдите объем  части цилиндра, изображенной на рисунке (см. рис. 10). В ответе укажите .

Решение.

Сперва найдем объем цилиндра, если бы он был «целым». (См. рис. 11.)

Его высота равна . Тогда .

Далее вырезана половина малого цилиндра с высотой . Можно найти его объем по формуле, а можно заметить, что объем малого цилиндра в  раза меньше объема большого, так как основания одинаковы, а высота в  раза меньше. Но тогда вырезана  часть большого цилиндра  (см. рис. 12).

А значит, осталось  большого цилиндра. То есть, объем искомой фигуры равен:

Тогда .

Ответ: .

Заключение

Сегодня мы решили несколько задач на объемы цилиндра и прямой призмы, а также повторили необходимые формулы. В дальнейшем у вас не должно возникать проблем с подобными задачами.

 

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10–11 классов. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.
2. А.В. Погорелов. Геометрия 11 класс. – М.: Просвещение, 2002.
3. В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков. Рабочая тетрадь по геометрии 11 класс.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Сайт "Я Класс"
2. Сайт "Узнать ущё"
3. Сайт "Узнать ущё"

 

Домашнее задание

1. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен . Объем параллелепипеда равен . Найдите высоту цилиндра.
2. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной . Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.
3. В цилиндр вписана правильная треугольная призма. Найдите отношение объемов призмы и цилиндра.