Рис. 3. Сфера радиуса с центром в точке и плоскость

Пусть дана сфера радиуса и плоскость (рис. 3), которая находится на расстоянии от центра сферы. Введем систему координат в пространстве и будем считать, что плоскость совпадает с плоскостью (). Считаем, что центр сферы лежит на оси . Тогда раз расстояние до плоскости равно , то координаты центра сферы будут .

Соответственно, уравнение сферы выглядит так: .

Если пересечь сферу плоскостью, то координаты всех точек, принадлежащих одновременно обеим фигурам, удовлетворяют системе:

Подставив , равное 0, в первое уравнение, имеем: .

Так как выражение может принимать не только положительные значения, но также и отрицательные, рассмотрим три случая:

1. Если . Тогда сумма квадратов равна отрицательному числу – решений у такого уравнения нет, значит, и точек пересечения у плоскости и окружности нет.

2. Если . Тогда ; . Вспомнив, что и у нас равно 0, имеем в пересечении одну точку .

3. Если . Тогда , а это уравнение окружности. Значит, сечение сферы плоскостью есть окружность. Соответственно, сечение шара плоскостью есть круг.

Стоит отметить, что при данное сечение пройдет через центр сферы и получится окружность, радиус которой равен радиусу сферы. Такое сечение называют диаметральным.