Определение.Чевианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с произвольной точкой противолежащей стороны или ее продолжения (см. рисунок 1).

Рис. 1. Пример чевианы

Соответственно, биссектриса, высота и медиана – чевианы. Как вы помните, и высоты, и медианы, и биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке (см. рисунок 2).

Рис. 2. Пересечение некоторых чевиан в одной точке

Теорема Чевы. Чевианы , и пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда (см. рисунок 3).

Рис. 3. Пересечение чевиан

Доказательство

1) Докажем сперва, что если чевианы пересекаются в одной точке, то выполняется соотношение .

Пусть чевианы , и треугольника пересекаются в точке (см. рисунок 3).

Рассмотрим треугольники и (см. рисунок 4).

Рис. 4. Треугольники и

Поскольку основания и лежат на одной прямой, то у этих треугольников общая высота, опущенная из точки (из точки можно опустить только одну высоту на прямую – см. рисунок 5). Отсюда следует, что площади этих треугольников относятся так же, как их основания:

Рис. 5. Высоты рассматриваемых треугольников совпадают

Аналогично можно выписать еще два соотношения: ; .

Перемножая эти три равенства получаем:

Рассмотрим левую часть данного равенства. Запишем её иначе. Треугольники и имеют равные углы (вертикальные, при вершине – см. рисунок 6). Значит, их площади относятся как произведения длин сторон, заключающих этот угол.

Рис. 6. Треугольники с равными углами

То есть: . Аналогично можно выписать еще два соотношения: ; . Перемножая эти равенства, получаем: .

Имеем:

Что и требовалось доказать.

2) Теперь докажем, что если соотношение выполнено, то три чевианы пересекаются в одной точке.

Воспользуемся методом от противного. Пусть это не так и – точка пересечения и , а не проходит через эту точку. Проведем чевиану через точки и (см. рисунок 7).

Рис. 7. Иллюстрация к доказательству теоремы Чевы

Тогда для чевиан , и выполняется условие теоремы Чевы, которое мы уже доказали: .

Но с другой стороны известно, что

Приравняв левые части двух равенств, имеем: а значит две точки разбили один и тот же отрезок в одном и том же отношении. Единственный случай, когда это возможно, если и совпадают. То есть исходное предположение неверно, и значит, все чевианы проходят через одну точку, ч.т.д.