Теорема Чевы
Определение.Чевианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с произвольной точкой противолежащей стороны или ее продолжения (см. рисунок 1).
Рис. 1. Пример чевианы
Соответственно, биссектриса, высота и медиана – чевианы. Как вы помните, и высоты, и медианы, и биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке (см. рисунок 2).
Рис. 2. Пересечение некоторых чевиан в одной точке
Теорема Чевы. Чевианы 
, 
и 
пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда 
(см. рисунок 3).
Рис. 3. Пересечение чевиан
Доказательство
1) Докажем сперва, что если чевианы пересекаются в одной точке, то выполняется соотношение .
Пусть чевианы , и треугольника 
пересекаются в точке 
(см. рисунок 3).
Рассмотрим треугольники 
и 
(см. рисунок 4).
Рис. 4. Треугольники и
Поскольку основания 
и 
лежат на одной прямой, то у этих треугольников общая высота, опущенная из точки (из точки можно опустить только одну высоту на прямую 
– см. рисунок 5). Отсюда следует, что площади этих треугольников относятся так же, как их основания:
Рис. 5. Высоты рассматриваемых треугольников совпадают
Аналогично можно выписать еще два соотношения: 
; 
.
Перемножая эти три равенства получаем:
Рассмотрим левую часть данного равенства. Запишем её иначе. Треугольники и 
имеют равные углы (вертикальные, при вершине – см. рисунок 6). Значит, их площади относятся как произведения длин сторон, заключающих этот угол.
Рис. 6. Треугольники с равными углами
То есть: 
. Аналогично можно выписать еще два соотношения: 
; 
. Перемножая эти равенства, получаем: 
.
Имеем:
Что и требовалось доказать.
2) Теперь докажем, что если соотношение выполнено, то три чевианы пересекаются в одной точке.
Воспользуемся методом от противного. Пусть это не так и – точка пересечения и , а не проходит через эту точку. Проведем чевиану 
через точки 
и (см. рисунок 7).
Рис. 7. Иллюстрация к доказательству теоремы Чевы
Тогда для чевиан , и выполняется условие теоремы Чевы, которое мы уже доказали: 
.
Но с другой стороны известно, что
Приравняв левые части двух равенств, имеем: 
а значит две точки разбили один и тот же отрезок в одном и том же отношении. Единственный случай, когда это возможно, если 
и 
совпадают. То есть исходное предположение неверно, и значит, все чевианы проходят через одну точку, ч.т.д.
Применение теоремы Чевы
Как применяется теорема Чевы? Например, с ее помощью можно доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Действительно, соответствующие отрезки в числителе и знаменателе одинаковы, значит, условие теоремы выполняется (см. рисунок 8).
Рис. 8. Доказательство пересечения медиан в одной точке
Также можно доказать, что биссектрисы в любом треугольнике пересекаются в одной точке.
Доказательство
Рассмотрим рисунок 1:
Рис. 1. Иллюстрация доказательства теоремы о точке пересечения биссектрис
По свойству биссектрисы: 
. Аналогично: 
и 
. Перемножив эти равенства, получим: . Значит, биссектрисы пересекаются в одной точке.
Задача (теорема Чевы)
Дан 
. 
– точки касания вписанной окружности. Докажите, что 
.
Доказательство
Заметим, что отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Значит, 
(см. рисунок 9). Подставим эти данные в условие из теоремы Чевы: 
.
Рис. 9. Иллюстрация к задаче
Соотношение из теоремы Чевы выполняется, а значит, чевианы пересекаются в одной точке, ч.т.д.
Замечание: рассмотренные чевианы не обязаны содержать центр вписанной окружности, более того, если треугольник не равносторонний, то они его и не содержат (так как не являются биссектрисами – см. рисунок 10).
Рис. 10. Рассматриваемые отрезки не обязаны быть биссектрисами
Теорема Менелая
Пусть дан треугольник , точки и 
лежат на сторонах 
и 
соответственно, а 
– на продолжении (см. рисунок 11). Точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда .
Рис. 11. Иллюстрация к теореме Менелая
Доказательство
Рассмотрим треугольники 
, 
, 
. Пусть 
– высоты, проведенные из вершин 
соответственно (см. рисунок 12).
Рис. 12. Иллюстрация к доказательству теоремы Менелая
Заметим, что углы и – вертикальные, значит, их синусы равны, то есть: 
. Выписав два аналогичных равенства, имеем: 
и 
.
Перемножим эти равенства и сократим длины высот, получим: , ч.т.д.
Обратное утверждение доказывается абсолютно аналогично доказательству обратного утверждения из теоремы Чевы.
Задача (теорема Менелая)
В треугольнике : 
– медиана, точка – середина медианы. Прямая 
пересекает сторону в точке 
(см. рисунок 13). В каком отношении точка делит , считая от точки ?
Рис. 13. Иллюстрация к условию задачи
Решение
Применим теорему Менелая. К треугольнику не получится, так как по условию теоремы должна быть точка на продолжении стороны треугольника, а у нас все внутри. Поэтому воспользуемся теоремой Менелая для треугольника 
и точек 
(см. рисунок 14).
Рис. 14. Треугольник и точка 
за его пределами
Они лежат на одной прямой, значит выполнено условие теоремы Менелая:
, откуда следует (т.к. 
и 
– по условию): 
. Значит, 
.
Ответ: 
.
Эту задачу можно решить и иначе. Проведем 
(
– на ) параллельно 
. Тогда – средняя линия 
, а значит 
. Аналогично, 
– средняя линия 
, значит, 
(см. рисунок 15). Таким образом, .
Рис. 15. Дополнительное построение
Пример
Дан треугольник . На продолжении за точку взяли точку , такую что 
. На стороне взяли точку 
, которая делит в отношении от . В каком отношении 
делит ?
Решение:
Пусть точка пересечения и – (см. рисунок 1).
Рис. 1. Иллюстрация к условию задачи
Тогда по теореме Менелая:
.
Ответ: 
.
Заключение
На этом уроке мы познакомились с теоремой Чевы и теоремой Менелая и разобрали несколько задач, которые решаются с их помощью.
Список рекомендованной литературы.
- Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. - М.: Просвещение, 2009. - 255 с.
- Геометрия 11 класс, А.В. Погорелов, М.: Просвещение, 2002
- Геометрия. 11 класс. Рабочая тетрадь. Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И. 8-е изд. - М.: Просвещение, 2013. - 78 с.
Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет.
- Интернет-портал «hijos.ru» (Источник)
- Интернет-портал «gigabaza.ru» (Источник)
- Интернет-портал «studopedia.ru» (Источник)
Рекомендованное домашнее задание.
- Стороны треугольника
и 
. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник. - Задан треугольник . На продолжениях сторон , и лежат, соответственно, точки
, 
и 
(см. рисунок), так что 
, 
и 
. Доказать, что точки , и лежат на одной прямой.
- В треугольнике , площадь которого равна
, на стороне взята точка , делящая эту сторону в отношении 
, а на стороне – точка 
, делящая в отношении 
. Точка 
пересечения прямых 
и 
удалена от прямой на расстоянии 
. Найдите длину стороны .
