Введение
Наверняка за то время, что вы изучаете геометрию, вы решили множество задач, в условии которых встречались медианы или биссектрисы. Обычно наличие таких слов предполагало лишь формальное использование определения медианы или биссектрисы, то есть то, что какая-то сторона либо какой-то угол разделены пополам.
Чуть реже мы использовали специфические свойства медиан и биссектрис. Но что делать, если нужно найти длину самой медианы или биссектрисы? Сейчас мы об этом и поговорим.
[00:0:54/Теорема о сторонах и диагоналях параллелограмма]
Докажем сначала полезную вспомогательную теорему о параллелограмме.
Теорема
В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон: 
.
Доказательство
Рассмотрим треугольники 
и 
(Рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к доказательству теоремы
По теореме косинусов для треугольника имеем 
.
По теореме косинусов для треугольника 
имеем 
.
Теперь заметим, что 
и 
– секущая, то есть углы 
и 
– внутренние односторонние, а значит, их сумма равна 
. Следовательно, их косинусы равны по модулю и противоположны по знаку: 
. Учитывая это, сложим два равенства, получаем: 
.
Теорема доказана.
Длина медианы
Эта теорема и сама по себе довольно полезна, потому что с ее помощью можно быстро найти недостающую сторону или диагональ параллелограмма. Но для нас сейчас особенно важно, что именно с помощью этой теоремы мы получим формулу для вычисления длины медианы треугольника. Для этого воспользуемся одним полезным стандартным приёмом при решении геометрических задач – удвоением медианы.
Теорема
Длину медианы треугольника можно вычислить по формуле: 
(Рис. 2).
Рис. 2. Иллюстрация к теореме о длине медианы треугольника
Доказательство
Продлим медиану 
на ее длину за точку 
– получим точку 
. Заметим, что 
– параллелограмм по признаку: диагонали делятся точкой пересечения пополам (Рис. 3).
Рис. 3. Удвоение медианы
Значит, к нему можно применить доказанную нами теорему о сторонах и диагоналях параллелограмма:
Теорема доказана.
Итак, теперь мы умеем находить медиану треугольника, зная длины трёх его сторон. Воспользуемся этим для решения различных задач.
Примеры
Пример 1
Стороны треугольника равны 
и 
. Найти медиану, проведенную к большей стороне.
Решение
Воспользуемся формулой для длины медианы: 
.
Подставляем в неё известные из условия длины сторон:
Ответ: 
.
Пример 2
В треугольнике 
: 
, 
, медиана 
. Найти 
.
Решение
Воспользуемся формулой для длины медианы и подставим в неё данные из условия:
Ответ: 
.
Формула длины медианы применяется и для доказательства теорем.
Доказательство теоремы
Теорема
Если в треугольнике две медианы равны, то он равнобедренный.
Доказательство
Пусть 
(Рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к теореме
Выразим длины обеих медиан через длины сторон треугольника и приравняем полученные формулы:
.
Получаем, что треугольник равнобедренный. Что и требовалось доказать.
Длина биссектрисы
Длину биссектрисы ищут гораздо реже. Однако формула для вычисления её длины может быть полезна для решения некоторых задач.
Теорема
Длину биссектрисы треугольника можно вычислить по формуле: 
(Рис. 4).
Рис. 4. Иллюстрация к теореме
Доказательство
Воспользуемся методом площадей. Запишем формулы для вычисления площади некоторых треугольников:
С другой стороны, площадь треугольника равна сумме площадей двух непересекающихся треугольников, из которых он состоит: 
. Тогда
Теорема доказана.
Пример
Рассмотрим задачу, которую можно решить, используя полученную формулу.
Задача
Пусть в треугольнике 
, 
, 
. Требуется найти биссектрису 
(Рис. 5).
Рис. 5. Иллюстрация к задаче
Решение
Воспользуемся полученной формулой для длины биссектрисы:
Нахождение биссектрисы по трём сторонам
Можно ли найти длину биссектрисы, если известны только длины трёх сторон треугольника? Конечно, можно по теореме косинусов найти косинус соответствующего угла треугольника, а затем по формуле косинуса двойного угла найти косинус половины угла и применить доказанную нами формулу длины биссектрисы. Но есть и другой алгоритм.
Пример
Пусть в треугольнике : 
и 
. Найти биссектрису 
(Рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к условию задачи
Решение
1. Первым делом найдем . Заметим, что по свойству биссектрисы 
, значит, 
.
2. Далее по теореме косинусов для треугольника находим косинус угла 
:
3. Теперь применим теорему косинусов к треугольнику 
:
Если этот метод вам понравился больше, то можно использовать для нахождения длины биссектрисы и его. Впрочем, в формулу подставлять гораздо проще.
Кстати, если даны три стороны, то есть еще одна формула, позволяющая найти длину биссектрисы: 
где 
и 
– отрезки, на которые сторона делится биссектрисой (Рис. 6).
Рис. 6. Нахождение биссектрисы по трем сторонам
Доказательство
Пусть – точка пересечения продолжения биссектрисы и окружности, описанной около (Рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к доказательству
Тогда треугольники 
и 
подобны (одна пара углов равна по определению биссектрисы, а углы 
и 
– вписанные и опираются на одну дугу).
Значит, 
, то есть 
.
Осталось заметить, что по теореме о пересекающихся хордах: 
, подставив это в полученное равенство, получим требуемое:
Заключение
На этом уроке мы познакомились с формулами для вычисления длины медианы и биссектрисы в треугольнике. Помимо этого, доказали важную теорему о сторонах и диагоналях параллелограмма и решили несколько задач на применение выведенных формул.
Список рекомендованной литературы
- Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009.
- Геометрия 11 класс, А.В. Погорелов. М.: Просвещение, 2002.
- Геометрия. 11 класс. Рабочая тетрадь. Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И. 8-е изд. – М.: Просвещение, 2013.
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Интернет-портал «syl.ru» (Источник)
- Интернет-портал «www-formula.ru» (Источник)
- Интернет-портал «zdesformula.ru» (Источник)
Домашнее задание
- Вычислите длину биссектрисы треугольника , проведённую из вершины
, если 
. - Длины катетов прямоугольного треугольника равны
и 
. Найдите длину биссектрисы прямого угла треугольника. - В равнобедренном треугольнике длина боковой стороны равна
. Медиана, проведённая к боковой стороне, равна 
. Найдите длину основания треугольника.
