Найти наибольший возможный объем правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой равно см.

Дано: ABCD– квадрат, , .

Найти:

Решение

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

В основании лежит квадрат ABCD, высота проецируется в центр основания, то есть, в точку пересечения диагоналей (рис. 5).

Правильная 4-х угольная пирамида задается двумя элементами, например боковым ребром и стороной основания, в данном случае x. Переменной x можно варьировать.

Полагаем AB=x, тогда .

Рассмотрим треугольник . По теореме Пифагора:

Выражаем x²через h²:

Запишем формулу объема пирамиды, используя полученное отношение:

Получили выражение, зависящее только от h, выделяем функцию:

Решаем стандартную задачу на нахождение наибольшего значения функции на отрезке. За функцию возьмем функцию объема.

Дано:

Найти:

Решение

Находим производную и приравниваем ее к нулю:

Точка h=6 принадлежит заданному отрезку. Исследуем точку (рис. 6):

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

До этой точки производная положительная, функция возрастает, после этой точки производная отрицательна, функция убывает, значит, единственная критическая точка является точкой максимума и на всем отрезке именно в этой точке функция принимает наибольшее значение.

Получаем, что :

Ответ: искомый объем равен 288 см².

Список литературы

Геометрия: учеб. для 10–11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.
Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и профильный уровни/А.В.Погорелов – М.: «Просвещение», 2014.
Готман Э.Г.Стереометрические задачи и методы их решения.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Project.1september.ru (Источник).
Mccme.ru (Источник).
Ppt4web.ru (Источник).

Домашнее задание

Из круга радиусом R вырезан сектор и из сектора сплетен конус. Каков наибольший объем получившийся конической воронки?
Из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, найдите тот, который имеет наибольшую площадь.