Экстремальные задачи

Задача №1 на наименьшую поверхность

Объем правильной треугольной призмы равен V, какова должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность призмы была наименьшей?

Дано: ,  – наименьш.

Найти:x.

Решение

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Правильной треугольной призмой называется призма, в основании которой лежит правильный треугольник и боковое ребро перпендикулярно основанию. Призма задается двумя элементами: например длиной стороны основания x и длиной бокового ребра y(рис. 1). В данной задаче задана только одна величина – объем V, значит, второй величиной, в частности величиной x, можно варьировать. Нужно найти такой x, чтобы площадь полной поверхности была наименьшей.

Запишем формулу объема призмы, это площадь основания, умноженная на высоту:

Запишем формулу объема для данной призмы:

Где

– это площадь основания, т. е. площадь правильного треугольника.

Выразим y через V и x:

Находим полную поверхность через x и y:

Площадь зависит от x и y, подставим вместо y его выражение через x:

Итак, мы выделили функцию:

Где x может принимать только положительные значения.

Теперь нам нужно исследовать данную функцию. Наша задача свелась к типовой задаче нахождения наименьшего значения функции:

Дано:
, область определения: x>0.

Найти: наименьшее значение функции.

Решение

Найдем производную. Производная дроби считается по формуле:

Находим критические точки, для этого производную приравниваем к нулю:

Получаем  – единственная критическая точка.

Изучаем ее (рис. 2):

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Вся область определения разбилась на два интервала знакопостоянства производной: до критической точки производная отрицательна ® функция убывает, после критической точки производная положительна ® функция возрастает, значит, данная критическая точка есть точка минимума и, более того, функция в этой точке принимает наименьшее значение, то есть при длине стороны  площадь полной поверхности призмы будет наименьшей.

Ответ:
.

Задача №2 на наибольший объем

Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.

Дано: QA=R,

Найти:

Решение

Имеем прямоугольник, вписанный в окружность радиуса R. 

Прямоугольник, как и цилиндр, определяются двумя параметрами: радиусом основания и высотой.

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Имеем прямоугольник, вписанный в окружность радиуса R.

Прямоугольник, как и цилиндр, определяются двумя параметрами: радиусом основания и высотой

Рассмотрим треугольник  и напишем связь между r, h и известным радиусом. По теореме Пифагора:

Запишем формулу объема цилиндра и подставим в нее полученное выражение для r²:

Таким образом, задача сводится к исследованию функции .

Замечание: в прошлой задаче неизвестная находилась на луче, здесь неизвестная принимает все значения из отрезка [0, 2R].

Исследуем найденную функцию. Решим задачу:

Задача: при каком значении аргумента h функция  принимает наибольшее значение?

Решение: найдем производную и приравняем ее к нулю:

Нашли единственную критическую точку. Изучаем ее (рис. 4):

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

До этой точки производная положительная, функция возрастает, после этой точки производная отрицательна, функция убывает, значит, это точка максимума и на всем отрезке именно в этой точке функция принимает наибольшее значение.

Ответ:
.

Задача №3 на пирамиду

Найти наибольший возможный объем правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой равно  см.

Дано: ABCD– квадрат, , .

Найти:

Решение

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

В основании лежит квадрат ABCD, высота проецируется в центр основания, то есть, в точку пересечения диагоналей (рис. 5).

Правильная 4-х угольная пирамида задается двумя элементами, например боковым ребром и стороной основания, в данном случае x. Переменной x можно варьировать.

Полагаем AB=x, тогда .

Рассмотрим треугольник . По теореме Пифагора:

Выражаем x²через h²:

Запишем формулу объема пирамиды, используя полученное отношение:

Получили выражение, зависящее только от h, выделяем функцию:

Решаем стандартную задачу на нахождение наибольшего значения функции на отрезке. За функцию возьмем функцию объема.

Дано:

Найти:

Решение

Находим производную и приравниваем ее к нулю:

Точка h=6 принадлежит заданному отрезку. Исследуем точку (рис. 6):

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

До этой точки производная положительная, функция возрастает, после этой точки производная отрицательна, функция убывает, значит, единственная критическая точка является точкой максимума и на всем отрезке именно в этой точке функция принимает наибольшее значение.

Получаем, что :

Ответ: искомый объем равен 288 см².

 

Список литературы

1. Геометрия: учеб. для 10–11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.
2. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и профильный уровни/А.В.Погорелов – М.: «Просвещение», 2014.
3. Готман Э.Г.Стереометрические задачи и методы их решения.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Project.1september.ru (Источник).
2. Mccme.ru (Источник).
3. Ppt4web.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Из круга радиусом R вырезан сектор и из сектора сплетен конус. Каков наибольший объем получившийся конической воронки?
2. Из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, найдите тот, который имеет наибольшую площадь.