Около треугольной пирамиды можно описать сферу, притом только одну.

Дано:

Пирамида .

Доказать:

Существование единственной точки .

(существует единственная описанная сфера).

Рис. 4. Треугольная пирамида

Доказательство

В треугольнике найдем центр описанной окружности – точку . Через точку проведем перпендикуляр к плоскости треугольника .

Любая точка на этом перпендикуляре равноудалена от трех точек: , , .

Нужно найти такую точку на этом перпендикуляре, чтобы она была равноудалена и от четвертой точки .

Для этого проведем плоскость следующим образом: точка – середина отрезка Через точку проведем плоскость . Получим точку пересечения плоскости и серединного перпендикуляра : .

Точка является искомой точкой, центром описанной около треугольной пирамиды сферы.

Действительно, точка , следовательно, . Точка , значит, . Точка равноудалена от всех вершин пирамиды. Мы доказали, что точка является центром описанной сферы с радиусом .

Предположим, что существует другая сфера, описанная около пирамиды, с центром в точке и радиусом . Точка должна быть равноудалена от всех вершин, то есть лежать на пересечении перпендикуляра с плоскостью , а значит, должна совпадать с точкой . А радиус .

Таким образом, доказано существование единственной сферы, описанной около данной треугольной пирамиды, при одном условии, что прямая и плоскость пересекутся.

Докажем этот важный факт. Доказательство от противного.

Предположим, что они не пересекаются, то есть параллельны: (- по построению, , следовательно, ).

Но прямая тоже перпендикулярна . То есть из точки проведено два перпендикуляра к прямой . Значит, и совпадают, так как перпендикуляр может быть только один. Значит, точка принадлежит плоскости , что невозможно, следовательно, наше предположение неверно, , то есть .

А значит, существует точка , равноудаленная от всех вершин данной пирамиды. Теорема полностью доказана.